A Usina Petribu tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica A é responsável por 30 % do total produzido, a fábrica B produz 45 % do total, e o restante vem da fábrica C. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade que ele tenha sido produzido na fábrica B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade, que é um assunto da Teoria das Probabilidades. A gente tem três fábricas, A, B e C, que produzem porcentagens diferentes do total de produtos. Queremos descobrir qual a chance de um produto defeituoso ter vindo da fábrica B. Para resolver isso, vamos precisar entender como distribuir essas probabilidades usando um pouco de matemática básica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as porcentagens de produção de cada fábrica:
  • Fábrica A produz 30% do total.
  • Fábrica B produz 45% do total.
  • Fábrica C produz o restante, que é 25%.
Isso significa que, se pegarmos um produto aleatório, há 30% de chance ele veio da A, 45% da B e 25% da C.

Passo 3

Agora, o exercício fala sobre produtos defeituosos. Vamos supor que cada fábrica tem a mesma taxa de defeito, ou seja, a mesma probabilidade de um produto ser defeituoso, já que o problema não especificou taxas diferentes.

Passo 4

A gente quer saber: Se encontramos um produto defeituoso, qual a probabilidade dele ter vindo da fábrica B?
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento baseado em informações condicionais.

Passo 5

Vamos definir:
  • $ P(B) = 0.45 $ (probabilidade de um produto ser da fábrica B)
  • $ P(defeito | B) = r $ (probabilidade de um produto ser defeituoso dado que veio da fábrica B)
  • Similarmente, $ P(defeito | A) = r $ e $ P(defeito | C) = r $, já que supomos a mesma taxa de defeito.

Passo 6

O Teorema de Bayes diz que:
P(B | defeito) = P(defeito | B) times P(B)P(defeito)
Onde $ P(defeito) $ é a probabilidade total de um produto ser defeituoso, independente da fábrica. Calculamos isso somando as probabilidades de defeito de cada fábrica:
P(defeito)
P(defeito) = P(defeito | A) times P(A) + P(defeito | B) times P(B) + P(defeito | C) times P(C)

Passo 7

Substituindo de volta no Teorema de Bayes:
P(B | defeito) = r times 0.45r = 0.45

Resposta

A probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido na fábrica B é 45%.

Exercícios relacionados