Um investidor em ações possui em ações da empresa em ações da empresa Y e em ações da empresa Z. Sabe-se que as probabilidades das ações das empresas , Y e Z não apresentarem lucro em um determinado ano são de e , respectivamente. Escolhe-se aleatoriamente uma ação em poder deste investidor e verifica-se que ela apresentou lucro no determinado ano. Qual a probabilidade desta ação NÃO ser da empresa Z?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um investidor que distribuiu seu dinheiro em três empresas: 20% na empresa X, 30% na Y e 50% na Z. Sabemos também as probabilidades de cada empresa não dar lucro em um ano específico: 15% para a X, 10% para a Y e 8% para a Z. A pergunta é: se a gente escolhe aleatoriamente uma ação desse investidor e ela deu lucro no ano, qual a probabilidade dessa ação NÃO ser da empresa Z?
Aqui, estamos lidando com probabilidades condicionais, que é um tópico da Estatística. Vamos precisar aplicar o Teorema de Bayes para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
$ A $: Ação escolhida é da empresa Z.
$ \overline{A} $: Ação escolhida NÃO é da empresa Z.
$ B $: Ação escolhida deu lucro no ano.
Queremos encontrar $ P(\overline{A} \mid B) $, ou seja, a probabilidade de a ação NÃO ser da Z dado que ela deu lucro.
Passo 3
Pelo Teorema de Bayes, temos:
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar $ P(\overline{A}) $, que é a probabilidade de escolher uma ação que NÃO seja da Z. Como 50% estão na Z, então:
P(A)
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(B \mid \overline{A}) $, a probabilidade de a ação dar lucro dado que ela NÃO é da Z. Isso envolve as empresas X e Y.
A probabilidade de dar lucro na X é $ 1 - 0,15 = 0,85 $ e na Y é $ 1 - 0,10 = 0,90 $.
Como 20% das ações estão na X e 30% na Y, a probabilidade combinada é:
P(B mid A)
Passo 6
Em seguida, precisamos encontrar $ P(B) $, a probabilidade de uma ação dar lucro, independentemente da empresa. Podemos usar a Lei da Probabilidade Total:
P(B)
Calculando $ P(B \mid A) $, que é a probabilidade de dar lucro na Z:
P(B) = P(B mid A) cdot P(A) + P(B mid A) cdot P(A)
Então:
P(B mid A)
Passo 7
Agora temos todos os valores para aplicar na fórmula do Teorema de Bayes: