Um investidor em ações possui 20 % em ações da empresa X, 30 % em ações da empresa Y e 50 % em ações da empresa Z. Sabe-se que as probabilidades das ações das empresas X, Y e Z não apresentarem lucro em um determinado ano são de 15 %, 10 % e 8 %, respectivamente. Escolhe-se aleatoriamente uma ação em poder deste investidor e verifica-se que ela apresentou lucro no determinado ano. Qual a probabilidade desta ação NÃO ser da empresa Z?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um investidor que distribuiu seu dinheiro em três empresas: 20% na empresa X, 30% na Y e 50% na Z. Sabemos também as probabilidades de cada empresa não dar lucro em um ano específico: 15% para a X, 10% para a Y e 8% para a Z. A pergunta é: se a gente escolhe aleatoriamente uma ação desse investidor e ela deu lucro no ano, qual a probabilidade dessa ação NÃO ser da empresa Z?
Aqui, estamos lidando com probabilidades condicionais, que é um tópico da Estatística. Vamos precisar aplicar o Teorema de Bayes para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • $ A $: Ação escolhida é da empresa Z.
  • $ \overline{A} $: Ação escolhida NÃO é da empresa Z.
  • $ B $: Ação escolhida deu lucro no ano.
Queremos encontrar $ P(\overline{A} \mid B) $, ou seja, a probabilidade de a ação NÃO ser da Z dado que ela deu lucro.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes, temos:
P(A mid B) = P(B mid A) cdot P(A)P(B)
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar $ P(\overline{A}) $, que é a probabilidade de escolher uma ação que NÃO seja da Z. Como 50% estão na Z, então:
P(A)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(B \mid \overline{A}) $, a probabilidade de a ação dar lucro dado que ela NÃO é da Z. Isso envolve as empresas X e Y.
A probabilidade de dar lucro na X é $ 1 - 0,15 = 0,85 $ e na Y é $ 1 - 0,10 = 0,90 $.
Como 20% das ações estão na X e 30% na Y, a probabilidade combinada é:
P(B mid A)

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar $ P(B) $, a probabilidade de uma ação dar lucro, independentemente da empresa. Podemos usar a Lei da Probabilidade Total:
P(B)
Calculando $ P(B \mid A) $, que é a probabilidade de dar lucro na Z:
P(B) = P(B mid A) cdot P(A) + P(B mid A) cdot P(A)
Então:
P(B mid A)

Passo 7

Agora temos todos os valores para aplicar na fórmula do Teorema de Bayes:
P(A mid B) = 0,88 cdot 0,500,90 = 0,440,90 approx 0,4889

Resposta

A probabilidade da ação NÃO ser da empresa Z, dado que ela apresentou lucro, é aproximadamente 48,89%.

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