O consumo diário de cintos de segurança na fábrica de avião comercial da Boeing é normalmente distribuído com uma média de 1.000 e um desvio padrão de 150. Cada cinto custa US$2. A Boeing analisa o seu estoque a cada 2 semanas e faz um pedido para colocar a quantidade de estoque dos cintos em um determinado nível. O lead time para o reabastecimento de um pedido é de 1 semana. O custo anual de manutenção de estoque é de 25 \% do custo unitário.
a) Supondo que a Boeing quer manter uma probabilidade de 98 \% no estoque, determine o estoque alvo, o ciclo resultante e o estoque de segurança. Qual é o custo total de manutenção de estoque para esta política?
b) Existe uma proposta para instituir melhorias no processo de modo que o estoque possa ser revisado e as encomendas feitas a cada semana. Determine a economia total no estoque desta mudança de processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação: o consumo diário é normalmente distribuído com média \mu_d = 1000 (unidades por dia) e desvio-padrão \sigma_d = 150 (unidades por dia).
  • Informação: cada cinto custa \$2.
  • Informação: a Boeing revisa o estoque a cada \;2 semanas (periodicidade de revisão R= \;2 semanas) e o lead time de reabastecimento é \;1 semana (lead time L= \;1 semana).
  • Informação: custo anual de manutenção de estoque (taxa de retenção) é 25\% do custo unitário, isto é h=0,25\times\$2.
  • Pedido: (a) mantendo probabilidade de atendimento de 98\%, determinar o estoque-alvo (nível “order-up-to” S), o ciclo resultante (estoque médio cíclico) e o estoque de segurança; e o custo total anual de manutenção de estoque para essa política. (b) se as revisões passarem a ser feitas a cada \;1 semana, determinar a economia total no estoque dessa mudança.
Observações importantes (dados que vou usar): vou converter semanas em dias para trabalhar com a média e desvio por dia (uma semana = 7 dias). Portanto:
  • revisão a cada 2 semanas = R=14 dias,
  • lead time L=7 dias.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Qual modelo vamos usar e as fórmulas essenciais (sem pular etapas).
  • Estamos no caso de revisão periódica (política “order-up-to”): a cada revisão de duração R a empresa observa estoque e faz um pedido que eleva o estoque ao nível S. Esse S deve cobrir a demanda durante o período até a próxima entrega, ou seja durante L+R, com uma margem (estoque de segurança) para atingir a probabilidade de serviço desejada.
  • Fórmula do estoque-alvo (order-up-to):
S = \mu_{L+R} + z\,\sigma_{L+R},
onde:
  • \mu_{L+R} é a demanda média durante L+R,
  • \sigma_{L+R} é o desvio-padrão da demanda durante L+R,
  • z é o quantil da normal padrão associado ao nível de serviço desejado (por exemplo, z tal que \Phi(z)=0,98).
  • Estoque de segurança:
\text{SS} = z\,\sigma_{L+R}.
  • Ciclo resultante (estoque médio cíclico): em revisão periódica o pedido médio é a demanda média durante R, \mu_R. O estoque cíclico médio é metade desse pedido médio:
\text{Ciclo médio} = \frac{\mu_R}{2}.é
  • Estoque médio total (médio on-hand) esperado (que gera custo de manutenção) é:
\bar{I} = \text{SS} + \frac{\mu_R}{2}.
  • Custo anual de manutenção (holding) é:
\text{Custo anual} = h \times \bar{I},
onde h é a taxa anual de manutenção por unidade (dado como 25\% do custo unitário).
Vou agora calcular cada peça com números.

Passo 3

Converter médias e desvios para os intervalos de tempo relevantes usando propriedades de soma de variáveis independentes (supondo dias independentes):
  • Média e desvio para n dias quando cada dia tem média \mu_d e desvio \sigma_d:
\mu_{n} = n\,\mu_d,\qquad \sigma_{n} = \sigma_d\sqrt{n}.
Para o caso original (revisão cada 2 semanas):
  • R = 14 dias, L = 7 dias, então L+R = 21 dias.
  • Média durante L+R:
\mu_{L+R} = 21\times 1000 = 21000 \text{ unidades.}
  • Desvio durante L+R:
\sigma_{L+R} = 150\sqrt{21}.
Calculemos \sqrt{21} e o produto:
\sqrt{21}\approx 4,582575695,\qquad \sigma_{L+R}\approx 150\times 4,582575695 \approx 687,386.
  • Média durante o período de revisão R=14 dias:
\mu_R = 14\times 1000 = 14000 \text{ unidades.}

Passo 4

Determinar o valor z associado a probabilidade de 98\%.
  • Queremos P(\text{demanda} \le S) = 0,98 para o período L+R. Assim z é tal que \Phi(z)=0,98.
  • Consultando tabela/funcão da normal padrão:
z_{0,98}\approx 2,05375.
Vou usar z=2,05375 nas contas seguintes.

Passo 5

Calcular o estoque de segurança e o estoque-alvo para revisão a cada 2 semanas.
  • Estoque de segurança:
\text{SS} = z\,\sigma_{L+R} \approx 2,05375\times 687,386 \approx 1411,69.
Arredondando para unidade inteira (faz sentido físico):
\text{SS}\approx 1412 \text{ unidades.}
  • Estoque-alvo S:
S = \mu_{L+R} + \text{SS} \approx 21000 + 1411,69 \approx 22411,69 \Rightarrow S\approx 22412 \text{ unidades.}

Passo 6

Calcular o ciclo médio (estoque cíclico) e o estoque médio total para a política atual.
  • Ciclo médio:
\frac{\mu_R}{2} = \frac{14000}{2} = 7000 \text{ unidades.}
  • Estoque médio total:
\bar{I} = \text{SS} + \frac{\mu_R}{2} \approx 1411,69 + 7000 \approx 8411,69 \Rightarrow \bar{I}\approx 8412 \text{ unidades.}

Passo 7

Calcular o custo anual de manutenção de estoque para a política atual.
  • Taxa anual h:
h = 0,25\times \$2 = \$0,5 \text{ por unidade-ano.}
  • Custo anual de manutenção:
\text{Custo anual} = h\times \bar{I} \approx \$0,5\times 8411,69 \approx \$4205,84.
Arredondando para centavos:
\text{Custo anual}\approx \$4205,84 \approx \$4206,00.

Passo 8

Agora fazer as mesmas contas quando a revisão passa a ser semanal ( R= 1 semana =7 dias), mantendo lead time L=7 dias e nível de serviço 98\%.
  • Agora R=7 dias, L+R=14 dias.
  • Média durante L+R:
\mu_{L+R} = 14\times 1000 = 14000 \text{ unidades.}
  • Desvio durante L+R:
\sigma_{L+R} = 150\sqrt{14}.
Calculemos:
\sqrt{14}\approx 3,741657387,\qquad \sigma_{L+R}\approx 150\times 3,741657387 \approx 561,249.
  • Estoque de segurança:
\text{SS}_{\text{novo}} = z\,\sigma_{L+R} \approx 2,05375\times 561,249 \approx 1152,66.
Arredondando:
\text{SS}_{\text{novo}}\approx 1153 \text{ unidades.}
  • Estoque-alvo novo:
S_{\text{novo}} = \mu_{L+R} + \text{SS}_{\text{novo}} \approx 14000 + 1152,66 \approx 15152,66 \Rightarrow S_{\text{novo}}\approx 15153 \text{ unidades.}

Passo 9

Calcular o ciclo médio, estoque médio total e custo anual com revisão semanal, e depois a economia.
  • Ciclo médio novo:
\frac{\mu_R}{2} = \frac{7000}{2} = 3500 \text{ unidades,}
pois agora \mu_R = 7\times 1000 = 7000.
  • Estoque médio total novo:
\bar{I}_{\text{novo}} = \text{SS}_{\text{novo}} + \frac{\mu_R}{2} \approx 1152,66 + 3500 \approx 4652,66 \Rightarrow \bar{I}_{\text{novo}}\approx 4653 \text{ unidades.}
  • Custo anual de manutenção novo:
\text{Custo anual}_{\text{novo}} = h\times \bar{I}_{\text{novo}} \approx \$0,5\times 4652,66 \approx \$2326,33.
Arredondando:
\text{Custo anual}_{\text{novo}}\approx \$2326,50.
  • Economia anual (diferença entre os custos de manutenção anuais):
\text{Economia anual} = \$4205,84 - \$2326,33 \approx \$1879,51 \Rightarrow \text{aprox. }\$1879,50.
Também útil: redução do estoque médio em unidades:
\Delta \bar{I} \approx 8411,69 - 4652,66 \approx 3759,03 \Rightarrow \text{aprox. }3760 \text{ unidades.}

Resposta

a) Estoque alvo S\approx 22412 unidades, ciclo médio =7000 unidades, estoque de segurança \text{SS}\approx 1412 unidades, custo anual de manutenção \approx \$4206,00.
b) Com revisão semanal: economia anual de manutenção \approx \$1879,50 (redução do estoque médio \approx 3760 unidades).

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