Um Fornecedor oferece certa mercadoria com o seguinte esquema de preços
Quantidade Pedida Preço Unitário
100-499 5000
500-2499 4750
2500-4999 4600
Acima de 5000 4500
(Não é possível comprar em quantidades inferiores a 100 unidades)
Um consumidor interessado na compra utiliza a mercadoria na razão de 25000 unidades por ano. O custo do pedido é de \ 50000 e as taxas de juros e armazenagem correspondem a50 %$ do preço da mercadoria. Determinar a melhor quantidade que o consumidor deve encomendar.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a melhor quantidade que o consumidor deve encomendar, dada uma tabela de preços por faixa (desconto por quantidade), consumo anual, custo por pedido e taxa de armazenagem expresseda como porcentagem do preço. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\bullet Tabela de preços (preço unitário P conforme a quantidade pedida Q):
\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Quantidade Pedida} & \text{Preço Unitário }(P)\\\ \hline 100\text{ a }499 & 5000\\\ \hline 500\text{ a }2499 & 4750\\\ \hline 2500\text{ a }4999 & 4600\\\ \hline \text{acima de }5000 & 4500\\\ \hline \end{array}
\bullet Não é possível comprar menos que 100 unidades por pedido.
\bullet Demanda anual (consumo): D=25000 unidades/ano.
\bullet Custo por pedido: S=\$50000.
\bullet Taxa de juros/armazenagem: 50\% do preço da mercadoria, ou seja o custo de manter uma unidade no estoque por ano é h=0{,}5\cdot P.
O que se pede: determinar a melhor quantidade de encomenda Q (o valor de Q que minimiza o custo anual total, considerando os diferentes preços por faixa).

Passo 2

Estratégia e fórmulas (a parte teórica didática, passo-a-passo):
  1. Modelo de custo anual total com preço unitário P fixo (para uma escolha de Q):
\text{Custo anual }T(Q)=\underbrace{D\cdot P}_{\text{custo de compra}}+\underbrace{\frac{D}{Q}\,S}_{\text{custo de pedido}}+\underbrace{\frac{Q}{2}\,h}_{\text{custo de armazenagem}},
onde:
  • D é a demanda anual (unidades/ano),
  • P é o preço unitário (moeda/unidade),
  • S é o custo por pedido (moeda por pedido),
  • Q é a quantidade por pedido (unidades),
  • h é o custo de manter uma unidade em estoque por ano (moeda/unidade/ano).
  1. No caso sem descontos (com P e, portanto, h fixos), a quantidade econômica de pedido (EOQ) que minimiza T(Q) é obtida derivando T(Q) em relação a Q e zerando:
\frac{dT}{dQ} = -\frac{D}{Q^2}S + \frac{h}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad Q^* = \sqrt{\frac{2DS}{h}}.
Aqui cada símbolo significa o mesmo que acima. Intuição: Q^* equilibra custo de pedido (que diminui com Q) com custo de armazenagem (que aumenta com Q).
  1. Como temos descontos por faixa (o preço P muda conforme Q), o procedimento padrão é:
  • Para cada faixa de preço P_i calcule h_i=0{,}5P_i e a EOQ Q_i^*=\sqrt{\frac{2DS}{h_i}}.
  • Se Q_i^* cair dentro da faixa correspondente (entre Q_{\min,i} e Q_{\max,i}), então Q_i^* é um candidato viável.
  • Se Q_i^* < Q_{\min,i}, então o menor Q que permite esse preço é Q_{\min,i} — esse Q_{\min,i} é o candidato para essa faixa (porque só a partir dele se obtém o preço P_i).
  • Se Q_i^* > Q_{\max,i}, então o maior Q na faixa ( Q_{\max,i}) será o candidato para essa faixa.
  • Para a última faixa (acima de um limite) o Q_{\max} é infinito, então se Q^* for menor que o limite inferior, o candidato é o limite inferior; se for maior, usa-se Q^*.
  • Calcule o custo anual total T(Q) para todos os candidatos e escolha o Q que dá o menor T.
Vou aplicar exatamente isso. Note também que o termo D\cdot P (custo de compra) depende do preço escolhido e não do Q (desde que Q esteja na faixa daquele preço). Por isso, às vezes é vantajoso aumentar Q para conseguir um preço unitário menor, mesmo que o estoque médio aumente.

Passo 3

Cálculo de Q^* simplificado antes de avaliar cada faixa:
Substituindo D=25000 e S=50000 na expressão de Q^*:
Q^*=\sqrt{\frac{2DS}{h}}=\sqrt{\frac{2\cdot 25000\cdot 50000}{h}}.
Como h=0{,}5P, o numerador (2\cdot25000\cdot50000)=2{,}5\times 10^{9}. Assim
Q^*=\sqrt{\frac{2{,}5\times10^{9}}{0{,}5P}}=\sqrt{\frac{5\times10^{9}}{P}}.
Ou seja, para cada preço P basta calcular Q^*=\sqrt{\dfrac{5\cdot10^{9}}{P}}.
Agora avalio faixa a faixa (vou apresentar h, Q^*, se Q^* é válido na faixa, e o candidato Q; em seguida calculo o custo anual total T(Q) para esse candidato).

Passo 4

Faixa 1: preço \,P_1=5000 para 100\le Q\le 499.
h_1=0{,}5\cdot P_1=0{,}5\cdot 5000=2500.
Q^*_1=\sqrt{\frac{5\cdot10^{9}}{5000}}=\sqrt{1{,}000{,}000}=1000.
Mas Q^*_1=1000 não está na faixa (100–499): é maior que o máximo 499. Então o candidato viável para essa faixa é o Q máximo na faixa:
Q_{cand,1}=499.
Agora calculo o custo anual total para Q=499. Use:
T(Q)=D\cdot P + \frac{D}{Q}S + \frac{Q}{2}h.
Substituindo:
\begin{aligned} \text{Custo de compra}&=D\cdot P=25000\cdot 5000=125\,000\,000,\\\ \text{Custo de pedido}&=\frac{25000}{499}\cdot 50000\approx 50{,}1002004\cdot 50000\approx 2\,505\,010{,}02,\\\ \text{Custo de armazenagem}&=\frac{499}{2}\cdot 2500=249{,}5\cdot 2500=623\,750. \end{aligned}
Somando:
T_{1}\approx 125\,000\,000 + 2\,505\,010{,}02 + 623\,750 \approx 128\,128\,760{,}02.

Passo 5

Faixa 2: preço \,P_2=4750 para 500\le Q\le 2499.
h_2=0{,}5\cdot 4750=2375.
Q^*_2=\sqrt{\frac{5\cdot10^{9}}{4750}}\approx 1026\\ (\text{aprox.}).
Aqui Q^*_2\approx 1026 está dentro da faixa (500–2499). Então o candidato é Q_{cand,2}=Q^*_2\approx 1026 (posso arredondar para inteiro pois unidades são inteiras; manterei Q=1026 como aproximação prática).
Calcule T para Q=1026:
\begin{aligned} \text{Custo de compra}&=D\cdot P=25000\cdot 4750=118\,750\,000,\\\ \text{Custo de pedido}&=\frac{25000}{1026}\cdot 50000\approx 24{,}3664\cdot 50000\approx 1\,218\,320{,}8,\\\ \text{Custo de armazenagem}&=\frac{1026}{2}\cdot 2375=513\cdot 2375=1\,218\,375. \end{aligned}
Somando:
T_{2}\approx 118\,750\,000 + 1\,218\,320{,}8 + 1\,218\,375 \approx 121\,186\,695{,}8.
(Observação didática: em Q^* os custos de pedido e de armazenagem ficam aproximadamente iguais — por isso aparecem números quase idênticos.)

Passo 6

Faixa 3: preço \,P_3=4600 para 2500\le Q\le 4999.
h_3=0{,}5\cdot 4600=2300.
Q^*_3=\sqrt{\frac{5\cdot10^{9}}{4600}}\approx 1042{,}6\\ (\text{aprox.}),
que é menor que o limite inferior 2500. Portanto Q^*_3 não é viável na faixa; o menor Q que garante o preço 4600 é Q_{cand,3}=2500.
Calcule T para Q=2500:
\begin{aligned} \text{Custo de compra}&=25000\cdot 4600=115\,000\,000,\\\ \text{Custo de pedido}&=\frac{25000}{2500}\cdot 50000=10\cdot 50000=500\,000,\\\ \text{Custo de armazenagem}&=\frac{2500}{2}\cdot 2300=1250\cdot 2300=2\,875\,000. \end{aligned}
Somando:
T_{3}=115\,000\,000 + 500\,000 + 2\,875\,000 = 118\,375\,000.

Passo 7

Faixa 4: preço \,P_4=4500 para Q\ge 5000.
h_4=0{,}5\cdot 4500=2250.
Q^*_4=\sqrt{\frac{5\cdot10^{9}}{4500}}\approx 1054{,}1,
que é menor que o limite inferior 5000. Assim o candidato para obter esse preço é Q_{cand,4}=5000 (menor Q que dá esse preço).
Calcule T para Q=5000:
\begin{aligned} \text{Custo de compra}&=25000\cdot 4500=112\,500\,000,\\\ \text{Custo de pedido}&=\frac{25000}{5000}\cdot 50000=5\cdot 50000=250\,000,\\\ \text{Custo de armazenagem}&=\frac{5000}{2}\cdot 2250=2500\cdot 2250=5\,625\,000. \end{aligned}
Somando:
T_{4}=112\,500\,000 + 250\,000 + 5\,625\,000 = 118\,375\,000.

Passo 8

Comparação final dos custos anuais calculados para os candidatos:
\begin{aligned} T_{1}&\approx 128\,128\,760{,}02 \quad\text{(para }Q=499,\;P=5000\text{)},\\\ T_{2}&\approx 121\,186\,695{,}8 \quad\text{(para }Q\approx 1026,\;P=4750\text{)},\\\ T_{3}&=118\,375\,000 \quad\text{(para }Q=2500,\;P=4600\text{)},\\\ T_{4}&=118\,375\,000 \quad\text{(para }Q=5000,\;P=4500\text{)}. \end{aligned}
Os menores custos anuais são T_{3} e T_{4}, ambos iguais a \$118\,375\,000. Isso significa que há empate: tanto encomendar Q=2500 unidades ao preço unitário \$4600 quanto encomendar Q=5000 unidades ao preço unitário \$4500 resultam no mesmo custo anual total mínimo.
Do ponto de vista puramente do custo anual total, ambas as quantidades são ótimas (indiferença). Na prática, a escolha entre 2500 e 5000 poderia levar em conta fatores adicionais (capacidade de estocagem, risco, financiamento, espaço físico), mas estritamente pelo modelo dado ambas são soluções ótimas.

Resposta

A melhor quantidade é 2500 unidades ou 5000 unidades (empate), ambos com custo anual mínimo igual a \$118\,375\,000.

Exercícios relacionados