Um Fornecedor oferece certa mercadoria com o seguinte esquema de preços
Quantidade Pedida
Preço Unitário
100-499
5000
500-2499
4750
2500-4999
4600
Acima de 5000
4500
(Não é possível comprar em quantidades inferiores a 100 unidades)
Um consumidor interessado na compra utiliza a mercadoria na razão de 25000 unidades por ano. O custo do pedido é de \ 50000e as taxas de juros e armazenagem correspondem a50 %$ do preço da mercadoria. Determinar a melhor quantidade que o consumidor deve encomendar.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a melhor quantidade que o consumidor deve encomendar, dada uma tabela de preços por faixa (desconto por quantidade), consumo anual, custo por pedido e taxa de armazenagem expresseda como porcentagem do preço. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\bullet Tabela de preços (preço unitário P conforme a quantidade pedida Q):
\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Quantidade Pedida} & \text{Preço Unitário }(P)\\\ \hline 100\text{ a }499 & 5000\\\ \hline 500\text{ a }2499 & 4750\\\ \hline 2500\text{ a }4999 & 4600\\\ \hline \text{acima de }5000 & 4500\\\ \hline \end{array}
\bullet Não é possível comprar menos que 100 unidades por pedido. \bullet Demanda anual (consumo): D=25000 unidades/ano. \bullet Custo por pedido: S=\$50000. \bullet Taxa de juros/armazenagem: 50\% do preço da mercadoria, ou seja o custo de manter uma unidade no estoque por ano é h=0{,}5\cdot P.
O que se pede: determinar a melhor quantidade de encomenda Q (o valor de Q que minimiza o custo anual total, considerando os diferentes preços por faixa).
Passo 2
Estratégia e fórmulas (a parte teórica didática, passo-a-passo):
Modelo de custo anual total com preço unitário P fixo (para uma escolha de Q):
\text{Custo anual }T(Q)=\underbrace{D\cdot P}_{\text{custo de compra}}+\underbrace{\frac{D}{Q}\,S}_{\text{custo de pedido}}+\underbrace{\frac{Q}{2}\,h}_{\text{custo de armazenagem}},
onde:
D é a demanda anual (unidades/ano),
P é o preço unitário (moeda/unidade),
S é o custo por pedido (moeda por pedido),
Q é a quantidade por pedido (unidades),
h é o custo de manter uma unidade em estoque por ano (moeda/unidade/ano).
No caso sem descontos (com P e, portanto, h fixos), a quantidade econômica de pedido (EOQ) que minimiza T(Q) é obtida derivando T(Q) em relação a Q e zerando:
Aqui cada símbolo significa o mesmo que acima. Intuição: Q^* equilibra custo de pedido (que diminui com Q) com custo de armazenagem (que aumenta com Q).
Como temos descontos por faixa (o preço P muda conforme Q), o procedimento padrão é:
Para cada faixa de preço P_i calcule h_i=0{,}5P_i e a EOQ Q_i^*=\sqrt{\frac{2DS}{h_i}}.
Se Q_i^* cair dentro da faixa correspondente (entre Q_{\min,i} e Q_{\max,i}), então Q_i^* é um candidato viável.
Se Q_i^* < Q_{\min,i}, então o menor Q que permite esse preço é Q_{\min,i} — esse Q_{\min,i} é o candidato para essa faixa (porque só a partir dele se obtém o preço P_i).
Se Q_i^* > Q_{\max,i}, então o maior Q na faixa (Q_{\max,i}) será o candidato para essa faixa.
Para a última faixa (acima de um limite) o Q_{\max} é infinito, então se Q^* for menor que o limite inferior, o candidato é o limite inferior; se for maior, usa-se Q^*.
Calcule o custo anual total T(Q) para todos os candidatos e escolha o Q que dá o menor T.
Vou aplicar exatamente isso. Note também que o termo D\cdot P (custo de compra) depende do preço escolhido e não do Q (desde que Q esteja na faixa daquele preço). Por isso, às vezes é vantajoso aumentar Q para conseguir um preço unitário menor, mesmo que o estoque médio aumente.
Passo 3
Cálculo de Q^* simplificado antes de avaliar cada faixa:
Substituindo D=25000 e S=50000 na expressão de Q^*:
Ou seja, para cada preço P basta calcular Q^*=\sqrt{\dfrac{5\cdot10^{9}}{P}}.
Agora avalio faixa a faixa (vou apresentar h, Q^*, se Q^* é válido na faixa, e o candidato Q; em seguida calculo o custo anual total T(Q) para esse candidato).
Aqui Q^*_2\approx 1026 está dentro da faixa (500–2499). Então o candidato é Q_{cand,2}=Q^*_2\approx 1026 (posso arredondar para inteiro pois unidades são inteiras; manterei Q=1026 como aproximação prática).
Calcule T para Q=1026:
\begin{aligned} \text{Custo de compra}&=D\cdot P=25000\cdot 4750=118\,750\,000,\\\ \text{Custo de pedido}&=\frac{25000}{1026}\cdot 50000\approx 24{,}3664\cdot 50000\approx 1\,218\,320{,}8,\\\ \text{Custo de armazenagem}&=\frac{1026}{2}\cdot 2375=513\cdot 2375=1\,218\,375. \end{aligned}
Os menores custos anuais são T_{3} e T_{4}, ambos iguais a \$118\,375\,000. Isso significa que há empate: tanto encomendar Q=2500 unidades ao preço unitário \$4600 quanto encomendar Q=5000 unidades ao preço unitário \$4500 resultam no mesmo custo anual total mínimo.
Do ponto de vista puramente do custo anual total, ambas as quantidades são ótimas (indiferença). Na prática, a escolha entre 2500 e 5000 poderia levar em conta fatores adicionais (capacidade de estocagem, risco, financiamento, espaço físico), mas estritamente pelo modelo dado ambas são soluções ótimas.
Resposta
A melhor quantidade é 2500 unidades ou 5000 unidades (empate), ambos com custo anual mínimo igual a \$118\,375\,000.