A DoorRed Pharmacy repõe um de seus medicamentos mais vendidos usando uma política de revisão contínua. A demanda diária pelo medicamento é distribuída normalmente, com uma média de 300 e um desvio-padrão de 100 . O atacadista pode processar um pedido de reposição em 2 dias. A política de reposição atual é pedir 1.500 unidades quando existem 750 unidades disponíveis.
a) Qual é o nível de serviço do ciclo que a DoorRed alcança com essa política?
b) Qual é a taxa de atendimento que a DoorRed alcança com essa política?
c) Que mudança na taxa de atendimento a DoorRed alcançaria se aumentasse seu ponto de reposição de 750 para 800 ?

Passo 1

O enunciado dá uma política de reposição contínua e pede três coisas. Vou listar tudo o que foi informado e o que é pedido, bem mastigado:
  • Dados fornecidos:
    • Demanda diária é normalmente distribuída com média \mu_{\text{d}} = 300 e desvio-padrão \sigma_{\text{d}} = 100.
    • Tempo de ressuprimento (lead time) L = 2 dias.
    • Quantidade pedida (lote) Q = 1500 unidades.
    • Ponto de reposição atual R = 750 unidades.
    • Será considerada também uma alteração do ponto de reposição para R' = 800 unidades no item (c).
  • Perguntas (separei claramente):
    a) Qual é o nível de serviço do ciclo (probabilidade de não haver falta durante o lead time) com R=750?
    b) Qual é a taxa de atendimento (fill rate) com R=750?
    c) Se o ponto de reposição aumentar para R'=800, qual a mudança na taxa de atendimento (ou seja, novo fill rate e quanto aumentou)?
A partir daqui vou explicar passo a passo os conceitos necessários e calcular cada valor.

Passo 2

Entendendo a demanda durante o lead time (passo conceitual importante).
  • A demanda diária tem média \mu_{\text{d}} e desvio \sigma_{\text{d}}. Para o lead time L dias, a demanda acumulada durante o lead time, que chamo de D_L, também é normalmente distribuída (soma de normais independentes).
  • A média de D_L é
\mu_L = L \cdot \mu_{\text{d}}.
  • O desvio-padrão de D_L é
\sigma_L = \sqrt{L}\cdot \sigma_{\text{d}}.
  • Vou calcular esses valores numéricos (tudo em fórmulas e depois números):
\mu_L = 2 \cdot 300 = 600,
\sigma_L = \sqrt{2}\cdot 100 \approx 141{,}421356.
Explicação simples: em 2 dias a média dobra (300 por dia → 600) e a variância soma, por isso o desvio cresce por \sqrt{2}.

Passo 3

Cálculo do nível de serviço do ciclo (probabilidade de não faltar durante o lead time) com R=750.
  • Definição prática: nível de serviço do ciclo é \Pr(D_L \le R), a probabilidade de que a demanda durante o lead time seja menor ou igual ao ponto de reposição.
  • Para normal padrão usamos a transformação Z=\dfrac{D_L-\mu_L}{\sigma_L}. Assim
\Pr(D_L \le R) = \Pr\!\left(Z \le \dfrac{R-\mu_L}{\sigma_L}\right).
  • Calculo o valor padronizado k:
k = \dfrac{R-\mu_L}{\sigma_L} = \dfrac{750-600}{141{,}421356} \approx 1{,}06066.
  • Agora consultamos a função de distribuição normal padrão \Phi(k). Para k\approx 1{,}06066 temos aproximadamente
\Phi(1{,}06066) \approx 0{,}8556.
(Usei tabelas ou aproximação da normal; esse valor corresponde a cerca de 85{,}56\%.)
  • Conclusão do passo:
\text{Nível de serviço do ciclo} \approx 0{,}8556 \quad(\text{ou }85{,}56\%).íç

Passo 4

Conceito de “taxa de atendimento” (fill rate) e fórmula prática.
  • A taxa de atendimento (fill rate), que vou chamar de \beta, mede a fração da demanda total que é atendida imediatamente a partir do estoque sem atraso. Em políticas periódicas/contínuas com lote Q, uma fórmula prática é
\beta = 1 - \dfrac{\text{estoque em falta médio por ciclo}}{Q}.é
  • O “estoque em falta médio por ciclo” é a esperança da sobra positiva de demanda acima do ponto de reposição quando ocorre o lead time, isto é
E[\text{faltas por ciclo}] = E\big[(D_L - R)^+\big] = \int_{R}^{\infty} (x-R) f_{D_L}(x)\,dx,
onde f_{D_L} é a densidade normal de D_L.
  • Para D_L\sim N(\mu_L,\sigma_L^2) existe uma fórmula fechada usando o padrão k=\dfrac{R-\mu_L}{\sigma_L}:
E\big[(D_L-R)^+\big] = \sigma_L\big[\varphi(k) - k\big(1-\Phi(k)\big)\big],
onde \varphi(k) é a densidade da normal padrão em k e \Phi(k) a sua função de distribuição. Vou derivar a fórmula rapidamente (intuição):
  • Fazemos a mudança de variável x=\mu_L+\sigma_L y. A integral se transforma e usamos que \int_{k}^{\infty} y\varphi(y)\,dy = \varphi(k) e \int_{k}^{\infty} \varphi(y)\,dy = 1-\Phi(k). Isso leva à expressão acima.

Passo 5

Cálculo numérico da taxa de atendimento com R=750.
  • Já temos \sigma_L \approx 141{,}421356 e k\approx 1{,}06066 e \Phi(k)\approx 0{,}8556.
  • Preciso de \varphi(k), a densidade no ponto k:
\varphi(k)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-k^{2}/2}.
Calculo numérico:
k^{2}/2 \approx \dfrac{1{,}06066^{2}}{2} \approx 0{,}5625,
e^{-0{,}5625}\approx 0{,}5697828,
\varphi(k)\approx 0{,}39894228 \times 0{,}5697828 \approx 0{,}22736.
  • Agora a esperança da falta por ciclo:
E\big[(D_L-R)^+\big] \approx 141{,}421356\big[0{,}22736 - 1{,}06066\cdot(1-0{,}8556)\big].
Calculo interno:
1-\Phi(k)\approx 0{,}1444,
1{,}06066\cdot 0{,}1444 \approx 0{,}1532,
0{,}22736 - 0{,}1532 \approx 0{,}07416,
E\big[(D_L-R)^+\big] \approx 141{,}421356 \times 0{,}07416 \approx 10{,}50\\ \text{unidades (aprox.)}.
  • Finalmente a taxa de atendimento:
\beta = 1 - \dfrac{E\big[(D_L-R)^+\big]}{Q} \approx 1 - \dfrac{10{,}50}{1500} \approx 1 - 0{,}0070 \approx 0{,}9930.
Em porcentagem, \beta \approx 99{,}30\%.
Interpretação curta: mesmo com nível de serviço por ciclo ~85,6%, o fill rate fica muito alto (99{,}3%) porque cada falta média por ciclo é pequena comparada ao tamanho do lote Q=1500.

Passo 6

Cálculo da nova taxa de atendimento se R subir para 800 (item c). Também mostro o novo nível de serviço do ciclo para informação.
  • Primeiro calcule k' para R'=800:
k' = \dfrac{800-600}{141{,}421356} = \dfrac{200}{141{,}421356} \approx 1{,}41421.
  • Nível de serviço do ciclo novo:
\Phi(k') \approx \Phi(1{,}41421) \approx 0{,}92135 \quad(\text{ou }92{,}13\%).
  • Densidade em k':
\varphi(k') = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{k'}^{2}/2}.
Aqui {k'}^{2}/2 \approx \dfrac{(1{,}41421)^{2}}{2} = \dfrac{2}{2}=1, então
\varphi(k') \approx 0{,}39894228 \times e^{-1} \approx 0{,}39894228\times 0{,}36787944 \approx 0{,}14676.
  • Esperança da falta por ciclo com R'=800:
E\big[(D_L-R')^+\big] \approx 141{,}421356\big[0{,}14676 - 1{,}41421\cdot(1-0{,}92135)\big].
Calculo interno:
1-\Phi(k')\approx 0{,}07865,
1{,}41421\cdot 0{,}07865 \approx 0{,}11124,
0{,}14676 - 0{,}11124 \approx 0{,}03552,
E\big[(D_L-R')^+\big] \approx 141{,}421356 \times 0{,}03552 \approx 5{,}02\\ \text{unidades (aprox.)}.
  • Nova taxa de atendimento:
\beta' = 1 - \dfrac{5{,}02}{1500} \approx 1 - 0{,}00335 \approx 0{,}99665,
ou seja aproximadamente 99{,}665\%.
  • Mudança na taxa de atendimento:
\Delta \beta = \beta' - \beta \approx 0{,}99665 - 0{,}99300 \approx 0{,}00365,
o que em pontos percentuais é um aumento de cerca de 0{,}365 pontos percentuais (ou 0{,}365\% em termos de pontos percentuais).

Resposta

(a) Nível de serviço do ciclo \approx 0{,}8556 (ou 85{,}56\%).
(b) Taxa de atendimento (fill rate) com R=750 \approx 0{,}9930 (ou 99{,}30\%).
(c) Ao aumentar R para 800: nova taxa de atendimento \approx 0{,}99665 (ou 99{,}665\%), aumento \approx 0{,}00365 (≈ 0{,}365 pontos percentuais).

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