O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por
, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se
a janeiro,
a fevereiro, e assim sucessivamente.
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh.
b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano?
c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico de E.
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh.
b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano?
c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico de E.
Passo 1
O enunciado nos dá a função que descreve o consumo mensal:
onde
está em kwh e o tempo
é indexado por meses com
corresponder a janeiro,
a fevereiro, e assim por diante.
As perguntas são:
As perguntas são:
- (a) Determinar o(s) mês(es) em que o consumo é de
kwh. - (b) Calcular o consumo mensal médio para o primeiro ano (ou seja, para os 12 meses
). - (c) Com base nos dados do item (b), esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes que já temos: a expressão explícita de
e a correspondência dos valores inteiros de
com os meses do ano.
Passo 2
Resolver (a): encontrar
tal que
. Começamos escrevendo a equação:
Subtraindo
de ambos os lados obtemos uma equação quadrática na forma padrão:
Agora vamos resolver essa quadrática. Técnica 1 (fatoração): procuramos dois números cujo produto é
e cuja soma é
. Esses números são
e
, então
Logo as soluções são as raízes dos fatores:
(Observação didática curta: se não fosse possível fatorar facilmente, usaríamos a fórmula quadrática
.)
Agora fazemos a interpretação temporal:
corresponde ao mês abril (já que
é janeiro) e
corresponde a junho. Portanto os meses com consumo de
kwh são abril e junho.
Passo 3
Resolver (b): calcular o consumo mensal médio no primeiro ano. Primeiro explico o que é média mensal aqui: é a média aritmética das 12 quantidades
. Em fórmula:
Usamos propriedades da soma para separar:
Agora calculamos cada soma. Fórmulas úteis (ensinando rapidinho):
- Soma dos inteiros de
a : . - Soma dos quadrados de
a : .
Aqui. Então
E a soma da constante:
Agora substituímos:
Calculando passo a passo:
Portanto a soma dos consumos no ano é
kwh. A média mensal é
(Interpretação curta: em média, cada mês consumiu cerca de
kwh.)
Passo 4
Resolver (c): esboçar o gráfico de
. Vou ensinar como identificar os traços principais da parábola para desenhá-la com segurança.
-
Concavidade: o coeficiente de
é , logo a parábola tem concavidade para cima (forma de “U”). -
Vértice (ponto de mínimo): para
o vértice tem coordenada em igual a . Aqui e , assim
O valor
no vértice é
Portanto o vértice é o ponto
: no mês
(maio) o consumo é mínimo e vale
kwh.
-
Eixo de simetria: é a reta vertical
. Isso explica por que , , etc. -
Alguns pontos para marcar no esboço (calculei para ajudar a desenhar com precisão):
Esses pontos mostram a simetria e a subida progressiva depois de
.
- Como esboçar na folha (passo a passo prático):
- Desenhe o eixo horizontal
de a (marque os meses: janeiro, fevereiro, …, dezembro). - Desenhe o eixo vertical
em kwh e marque pelo menos os valores de até (ou seja, incluir todos os pontos acima). - Marque o ponto do vértice
e os pontos listados acima para . - Trace uma curva suave em U que passa por esses pontos, respeitando a simetria em
. A curva tem mínimo em e cresce lentamente para os lados (mais rapidamente para maiores além de 8). - Opcional: desenhe uma linha horizontal na média
para visualizar quais meses ficam abaixo/acima da média.
Com esses elementos o esboço fica correto: uma parábola com mínimo em
, simétrica em
, passando pelos pontos calculados.
Resposta
(a)
e
(b)
(c)
(b)
(c)