O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E=t^{2}-8 t+210, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se \mathrm{t}=0 a janeiro, \mathrm{t}=1 a fevereiro, e assim sucessivamente.
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh.
b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano?
c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico de E.

Passo 1

O enunciado nos dá a função que descreve o consumo mensal:
E(t)=t^{2}-8t+210
onde E está em kwh e o tempo t é indexado por meses com \,t=0 corresponder a janeiro, \,t=1 a fevereiro, e assim por diante.
As perguntas são:
  • (a) Determinar o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh.
  • (b) Calcular o consumo mensal médio para o primeiro ano (ou seja, para os 12 meses t=0,1,\dots,11).
  • (c) Com base nos dados do item (b), esboçar o gráfico de E.
Informações relevantes que já temos: a expressão explícita de E(t) e a correspondência dos valores inteiros de t com os meses do ano.

Passo 2

Resolver (a): encontrar t tal que E(t)=195. Começamos escrevendo a equação:
t^{2}-8t+210=195.
Subtraindo 195 de ambos os lados obtemos uma equação quadrática na forma padrão:
t^{2}-8t+15=0.
Agora vamos resolver essa quadrática. Técnica 1 (fatoração): procuramos dois números cujo produto é 15 e cuja soma é -8. Esses números são -3 e -5, então
t^{2}-8t+15=(t-3)(t-5).
Logo as soluções são as raízes dos fatores:
t-3=0\quad\Rightarrow\quad t=3, \qquad t-5=0\quad\Rightarrow\quad t=5.
(Observação didática curta: se não fosse possível fatorar facilmente, usaríamos a fórmula quadrática \displaystyle t=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot1\cdot15}}{2}.)
Agora fazemos a interpretação temporal: t=3 corresponde ao mês abril (já que t=0 é janeiro) e t=5 corresponde a junho. Portanto os meses com consumo de 195 kwh são abril e junho.

Passo 3

Resolver (b): calcular o consumo mensal médio no primeiro ano. Primeiro explico o que é média mensal aqui: é a média aritmética das 12 quantidades E(0),E(1),\dots,E(11). Em fórmula:
\bar{E}=\frac{1}{12}\sum_{t=0}^{11}E(t)=\frac{1}{12}\sum_{t=0}^{11}\bigl(t^{2}-8t+210\bigr).
Usamos propriedades da soma para separar:
\sum_{t=0}^{11}\bigl(t^{2}-8t+210\bigr)=\sum_{t=0}^{11}t^{2}-8\sum_{t=0}^{11}t+ \sum_{t=0}^{11}210.
Agora calculamos cada soma. Fórmulas úteis (ensinando rapidinho):
  • Soma dos inteiros de 0 a n: \displaystyle\sum_{t=0}^{n} t=\frac{n(n+1)}{2}.
  • Soma dos quadrados de 0 a n: \displaystyle\sum_{t=0}^{n} t^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
    Aqui n=11. Então
\sum_{t=0}^{11}t=\frac{11\cdot12}{2}=66,
\sum_{t=0}^{11}t^{2}=\frac{11\cdot12\cdot23}{6}=\frac{3036}{6}=506.
E a soma da constante:
\sum_{t=0}^{11}210=210\cdot12=2520.
Agora substituímos:
\sum_{t=0}^{11}E(t)=506-8\cdot66+2520.
Calculando passo a passo:
8\cdot66=528,
506-528=-22,
-22+2520=2498.
Portanto a soma dos consumos no ano é 2498 kwh. A média mensal é
\bar{E}=\frac{2498}{12}=\frac{1249}{6}\\ \text{kwh}\approx208{,}166\overline{6}\\ \text{kwh}.
(Interpretação curta: em média, cada mês consumiu cerca de 208{,}17 kwh.)

Passo 4

Resolver (c): esboçar o gráfico de E(t)=t^{2}-8t+210. Vou ensinar como identificar os traços principais da parábola para desenhá-la com segurança.
  1. Concavidade: o coeficiente de t^{2} é +1>0, logo a parábola tem concavidade para cima (forma de “U”).
  2. Vértice (ponto de mínimo): para E(t)=at^{2}+bt+c o vértice tem coordenada em t igual a -\dfrac{b}{2a}. Aqui a=1 e b=-8, assim
t_{\text{vértice}}=-\frac{-8}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4.é
O valor E no vértice é
E(4)=4^{2}-8\cdot4+210=16-32+210=194.
Portanto o vértice é o ponto (4,194): no mês t=4 (maio) o consumo é mínimo e vale 194 kwh.
  1. Eixo de simetria: é a reta vertical t=4. Isso explica por que E(3)=E(5), E(2)=E(6), etc.
  2. Alguns pontos para marcar no esboço (calculei para ajudar a desenhar com precisão):
\begin{aligned} E(0)&=210,\\\ E(1)&=203,\\\ E(2)&=198,\\\ E(3)&=195,\\\ E(4)&=194,\\\ E(5)&=195,\\\ E(6)&=198,\\\ E(7)&=203,\\\ E(8)&=210,\\\ E(9)&=219,\\\ E(10)&=230,\\\ E(11)&=243. \end{aligned}
Esses pontos mostram a simetria e a subida progressiva depois de t=4.
  1. Como esboçar na folha (passo a passo prático):
  • Desenhe o eixo horizontal t de 0 a 11 (marque os meses: 0 janeiro, 1 fevereiro, …, 11 dezembro).
  • Desenhe o eixo vertical E em kwh e marque pelo menos os valores de 190 até 250 (ou seja, incluir todos os pontos acima).
  • Marque o ponto do vértice (4,194) e os pontos listados acima para t=0,1,2,\dots,11.
  • Trace uma curva suave em U que passa por esses pontos, respeitando a simetria em t=4. A curva tem mínimo em 194 e cresce lentamente para os lados (mais rapidamente para t maiores além de 8).
  • Opcional: desenhe uma linha horizontal na média \bar{E}=\dfrac{1249}{6}\approx208{,}17 para visualizar quais meses ficam abaixo/acima da média.
Com esses elementos o esboço fica correto: uma parábola com mínimo em (4,194), simétrica em t=4, passando pelos pontos calculados.

Resposta

(a) \text{abril }(t=3) e \text{junho }(t=5)
(b) \dfrac{1249}{6}\\ \text{kwh}\approx208{,}166\overline{6}\\ \text{kwh}
(c) \text{Parábola com concavidade para cima, vértice em }(4,194)\text{ e eixo de simetria }t=4áé

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