A temperatura t de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da hora h do dia, pela expressão \mathrm{t}=-\mathrm{h}^{2}+22 \mathrm{~h}-85.
Responda:
a) Em quais horários a temperatura é 0^{\circ} \mathrm{C} ?
b) Em que período(s) do dia a temperatura é positiva ? E negativa ?
c) Em que período(s) do dia a temperatura é crescente ? E decrescente ?
d) Em que horário a temperatura é máxima ? Qual é a temperatura máxima ?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura t (em °C) em função da hora h do dia:
t(h) = -h^{2} + 22h - 85.
As perguntas são:
a) Em quais horários t(h)=0^\circ\text{C} ?
b) Em que período(s) do dia t(h) é positiva e em que período(s) é negativa?
c) Em que período(s) do dia t(h) é crescente e em que período(s) é decrescente?
d) Em que horário a temperatura é máxima e qual é esse valor?
Observação sobre domínio físico: como h representa hora do dia, faz sentido interpretar h no intervalo [0,24]. Quando for útil eu indicarei a versão para todos os h\in\mathbb{R} e a versão restrita a [0,24].

Passo 2

Vamos primeiro achar os horários em que t(h)=0. Resolvemos a equação quadrática
-h^{2}+22h-85=0.
Multiplicando por -1 (para ficar na forma padrão) obtemos
h^{2}-22h+85=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação geral ah^{2}+bh+c=0, as raízes valem
h=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes. Aqui a=1, b=-22 (note a troca de sinal por termos da equação padronizada) e c=85. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-22)^{2}-4\cdot1\cdot85 = 484-340 = 144.
Como \sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12, as raízes são
h=\frac{22\pm12}{2}.
Assim:
h_{1}=\frac{22-12}{2}=\frac{10}{2}=5, \qquad h_{2}=\frac{22+12}{2}=\frac{34}{2}=17.

Passo 3

Interpretação dos zeros para responder (a): as horas em que a temperatura é 0^\circ\text{C} são h=5 e h=17. (Se considerarmos apenas 0\le h\le24, ambas estão nesse intervalo.)

Passo 4

Agora determinamos onde t(h) é positiva ou negativa (pergunta b). Primeiro uma observação poderosa sobre quadráticas: o sinal de uma parábola t(h)=ah^{2}+bh+c depende do coeficiente a (abre para cima se a>0, para baixo se a<0) e das raízes. No nosso caso a=-1<0, então a parábola abre para baixo (tem um “teto”) e será positiva entre as raízes e negativa fora delas.
Como encontramos raízes em h=5 e h=17, concluímos:
  • Para todos os h tais que 5<h<17, t(h)>0.
  • Para h<5 ou h>17, t(h)<0.
Se restringirmos a horas do dia [0,24], isso fica:
  • t(h)>0 para 5<h<17.
  • t(h)<0 para 0\le h<5 e para 17<h\le24.
    Nos pontos h=5 e h=17 a temperatura é exatamente 0^\circ\text{C}.

Passo 5

Agora a parte sobre crescimento/decrescimento (pergunta c). Uma maneira direta é usar a derivada: a derivada t'(h) dá a taxa de variação instantânea (a inclinação da reta tangente). Se t'(h)>0 a função cresce; se t'(h)<0 a função decresce; se t'(h)=0 há extremo local.
Calculamos a derivada usando a regra de potência: \dfrac{d}{dh}(h^{n})=n h^{n-1}. Para
t(h)=-h^{2}+22h-85
temos
t'(h)=-2h+22=22-2h.
Resolvendo t'(h)>0:
22-2h>0 \quad\Rightarrow\quad -2h>-22 \quad\Rightarrow\quad h<11.
E t'(h)<0 quando h>11. No ponto h=11 temos t'(11)=0.
Portanto, em termos gerais:
  • A temperatura é crescente para h<11 e decrescente para h>11.
    Considerando o dia [0,24]:
  • Crescente para 0\le h<11.
  • Decrescente para 11<h\le24.
    No instante h=11 a taxa de variação é zero — é o ponto de máximo da parábola.
Observação alternativa (sem cálculo de derivada): para uma parábola ah^{2}+bh+c, o vértice (onde muda crescimento para decrescimento) está em
h_{\text{v}} = -\frac{b}{2a}.
Aqui, com a=-1 e b=22, obtemos
h_{\text{v}} = -\frac{22}{2(-1)} = 11,
o mesmo resultado.

Passo 6

Finalmente, determinamos o máximo (pergunta d). Como a parábola abre para baixo ( a=-1), o vértice é um máximo, e já vimos que seu horário é h=11. Para encontrar a temperatura máxima, substituímos h=11 em t(h):
t(11) = -(11)^{2} + 22\cdot11 -85.
Calcule passo a passo:
-(11)^{2} = -121,\qquad 22\cdot11=242,
-121+242=121,\qquad 121-85=36.
Logo a temperatura máxima é 36^\circ\text{C} ocorrendo às 11 horas.

Resposta

a) h=5 e h=17.\n
b) t(h)>0 para 5<h<17. Se restringirmos a 0\le h\le24: t(h)>0 em 5<h<17; t(h)<0 em 0\le h<5 e em 17<h\le24.\n
c) t(h) é crescente para h<11 e decrescente para h>11. Se restringirmos a 0\le h\le24: crescente em 0\le h<11 e decrescente em 11<h\le24.\n
d) Máxima às h=11 horas; temperatura máxima 36^\circ\text{C}.

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