A temperatura t de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da hora h do dia, pela expressão
.
Responda:
a) Em quais horários a temperatura é
?
b) Em que período(s) do dia a temperatura é positiva ? E negativa ?
c) Em que período(s) do dia a temperatura é crescente ? E decrescente ?
d) Em que horário a temperatura é máxima ? Qual é a temperatura máxima ?
a) Em quais horários a temperatura é
b) Em que período(s) do dia a temperatura é positiva ? E negativa ?
c) Em que período(s) do dia a temperatura é crescente ? E decrescente ?
d) Em que horário a temperatura é máxima ? Qual é a temperatura máxima ?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura
(em °C) em função da hora
do dia:
As perguntas são:
a) Em quais horários ?
b) Em que período(s) do dia é positiva e em que período(s) é negativa?
c) Em que período(s) do dia é crescente e em que período(s) é decrescente?
d) Em que horário a temperatura é máxima e qual é esse valor?
a) Em quais horários
b) Em que período(s) do dia
c) Em que período(s) do dia
d) Em que horário a temperatura é máxima e qual é esse valor?
Observação sobre domínio físico: como
representa hora do dia, faz sentido interpretar
no intervalo
. Quando for útil eu indicarei a versão para todos os
e a versão restrita a
.
Passo 2
Vamos primeiro achar os horários em que
. Resolvemos a equação quadrática
Multiplicando por
(para ficar na forma padrão) obtemos
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação geral
, as raízes valem
onde
,
,
são os coeficientes. Aqui
,
(note a troca de sinal por termos da equação padronizada) e
. Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são
Assim:
Passo 3
Interpretação dos zeros para responder (a): as horas em que a temperatura é
são
e
. (Se considerarmos apenas
, ambas estão nesse intervalo.)
Passo 4
Agora determinamos onde
é positiva ou negativa (pergunta b). Primeiro uma observação poderosa sobre quadráticas: o sinal de uma parábola
depende do coeficiente
(abre para cima se
, para baixo se
) e das raízes. No nosso caso
, então a parábola abre para baixo (tem um “teto”) e será positiva entre as raízes e negativa fora delas.
Como encontramos raízes em
e
, concluímos:
- Para todos os
tais que , . - Para
ou , .
Se restringirmos a horas do dia
, isso fica:
-
para . -
para e para .
Nos pontose a temperatura é exatamente .
Passo 5
Agora a parte sobre crescimento/decrescimento (pergunta c). Uma maneira direta é usar a derivada: a derivada
dá a taxa de variação instantânea (a inclinação da reta tangente). Se
a função cresce; se
a função decresce; se
há extremo local.
Calculamos a derivada usando a regra de potência:
. Para
temos
Resolvendo
:
E
quando
. No ponto
temos
.
Portanto, em termos gerais:
- A temperatura é crescente para
e decrescente para .
Considerando o dia: - Crescente para
. - Decrescente para
.
No instantea taxa de variação é zero — é o ponto de máximo da parábola.
Observação alternativa (sem cálculo de derivada): para uma parábola
, o vértice (onde muda crescimento para decrescimento) está em
Aqui, com
e
, obtemos
o mesmo resultado.
Passo 6
Finalmente, determinamos o máximo (pergunta d). Como a parábola abre para baixo (
), o vértice é um máximo, e já vimos que seu horário é
. Para encontrar a temperatura máxima, substituímos
em
:
Calcule passo a passo:
Logo a temperatura máxima é
ocorrendo às
horas.
Resposta
a)
e
.\n
b) para
. Se restringirmos a
:
em
;
em
e em
.\n
c) é crescente para
e decrescente para
. Se restringirmos a
: crescente em
e decrescente em
.\n
d) Máxima às horas; temperatura máxima
.
b)
c)
d) Máxima às