Calcule a integral tripla:
\iiint_{R}(x+y) d V
onde a região R é definida por:
0<x<1 , 0<y<2, 0<z<3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} (x+y)\,dV
onde a região R é o paralelepípedo definido por
0<x<1,\qquad 0<y<2,\qquad 0<z<3.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=x+y.
  • O domínio R é um produto de intervalos retangulares (caixa): x varia de 0 a 1, y de 0 a 2 e z de 0 a 3.
  • A integral pedida é a integral tripla sobre essa região.

Passo 2

Ideia geral e justificativa do método (explicação didática):
Quando o domínio é um produto de intervalos e a função é contínua, pode-se calcular a integral tripla como uma integral iterada (regra de Fubini). Ou seja, podemos escrever
\iiint_{R} (x+y)\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{3} (x+y)\,dz\,dy\,dx.
Aqui cada integral interna é uma integral simples em uma variável, mantendo as outras como constantes. Como x e y não dependem de z, a integração em z é simples: a função é constante em relação a z.

Passo 3

Calcular a integral interna em z:
\int_{z=0}^{3} (x+y)\,dz = (x+y)\int_{z=0}^{3} dz = (x+y)\cdot 3 = 3(x+y).
Explicação: pode-se tirar o fator (x+y) da integral em z porque durante essa integração x e y são constantes; \int_{0}^{3} dz = 3.

Passo 4

Agora a integral torna-se dupla em x e y:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2} 3(x+y)\,dy\,dx.
Calculo da integral em y primeiro. Usando linearidade:
\int_{y=0}^{2} 3(x+y)\,dy =3\int_{y=0}^{2} (x+y)\,dy =3\Big(\int_{0}^{2} x\,dy + \int_{0}^{2} y\,dy\Big).
Aqui \int_{0}^{2} x\,dy = x\cdot 2 porque x é constante em relação a y, e \int_{0}^{2} y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}=2. Portanto
\int_{y=0}^{2} 3(x+y)\,dy = 3\big(2x + 2\big) = 6x+6.

Passo 5

Agora resta integrar em x de 0 a 1:
\int_{x=0}^{1} (6x+6)\,dx =6\int_{0}^{1} x\,dx + 6\int_{0}^{1} 1\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1} 1\,dx = 1.
Portanto
\int_{0}^{1} (6x+6)\,dx = 6\cdot\frac{1}{2} + 6\cdot 1 = 3 + 6 = 9.

Resposta

9

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