O consumo total de energia elétrica nos Estados Unidos é aproximadamente igual a 1,0 times 10^19 J por ano. A energia da radiação solar que atinge a Terra possui uma taxa aproximadamente igual a 1,0 kW por metro quadrado da superfície terrestre. Se essa energia pudesse ser convertida em energia elétrica com eficiência de 40 %, qual seria a área (em quilômetros quadrados) para coletar a energia solar necessária para obter a energia elétrica usada nos Estados Unidos?

Passo 1

Tranquilo, aqui a ideia é: os EUA usam por ano 1,0times10^19,J de energia elétrica; o sol manda pra terra uns 1,0,kW por metro quadrado; e nossa “usina” solar converte isso com 40% de eficiência. Então vamos usar conceitos básicos de energia, potência e eficiência pra achar a área necessária em km².

Passo 2

Primeiro, lembra que potência é energia por tempo.
  • Irradiação solar: 1,0,kW/m² = 1000,J/s·m².
  • Com 40% de eficiência, a potência elétrica por metro quadrado é
Prm útil = 0,40 times 1000 = 400 J/scdot m^2ú

Passo 3

Agora convertemos o ano em segundos pra relacionar energia total e potência:
1 ano = 365 times 24 times 3600 = 3,1536times10^7 s

Passo 4

Se cada m² gera 400,J/s, em um ano cada m² gera
$$E_{\rm m^2} = 400\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s},m^2} \times 3{,}1536\times10^7\ \mathrm{s}
=1{,}26144\times10{10} \mathrm{J/m2\cdot ano}.$$

Passo 5

Para produzir 1,0times10^19,J em um ano, a área A em m² deve satisfazer
A times 1,26144times10^10 = 1,0times10^19
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$$A = \frac{1{,}0\times10{19}}{1{,}26144\times10{10}}
\approx7{,}93\times108 \mathrm{m2}.$$

Passo 6

Só converter pra km² (1 km² = 10^6 m²):
$$A \approx \frac{7{,}93\times108}{106} = 7{,}93\times102 \mathrm{km2}
\approx 793\ \mathrm{km^2}.$$

Resposta

A área necessária é de aproximadamente 7,9times10^2 km^2.

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