1. Uma conta de massa m é jogada com uma velocidade v0 da posição x=c>0, em um fio parabólico infinito e sem atrito e de equação: y(x)=a x^2, com a>0. a) Escreva a velocidade da conta ao passar pela origem em função de a, c e dos outros dados do problema e calcule a força resultante que a conta sofre neste instante, se o raio de curvatura da parábola, na origem, é igual a r=12 a. b) Determine a velocidade mínima que a conta deve partir do mesmo ponto da letra anterior para que a força de vínculo na origem seja igual a: R=5 mg.

Passo 1

O problema trata de uma massa m que escorrega sem atrito sobre a curva y=ax^2, começa em x=c com velocidade inicial v0 e passa pela origem onde a curvatura tem raio r=tfrac12a. Para resolver vamos usar:
  • Conservação da energia mecânica para achar a velocidade em x=0.
  • A segunda lei de Newton na direção normal à trajetória, que dá a força de reação (força de vínculo) R.

Passo 2

Aplicando conservação de energia entre o ponto inicial (x=c,y=a c^2) e a origem (0,0), temos
12 m v0^2 + m g,(a c^2) = 12 m v^2 + m g,(0)
Cancelando m e isolando v,
v^2 = v0^2 + 2g,a c^2 Longrightarrow v = raizv0^2 + 2g,a c^2

Passo 3

Na origem a tangente é horizontal, logo a normal principal é vertical. A força peso mg aponta para baixo e a reação R da curva aponta para cima. Pela lei de Newton na direção normal (centrípeta) vale
R - mg = m,v^2r
Substituindo r=tfrac12a e o valor de v^2 do passo anterior,
v^2r = l(v0^2 + 2g,a c^2r),(2a)

Passo 4

Logo a força de vínculo na origem é
R = mg + m,v^2r = mg + 2a,ml(v0^2 + 2g,a c^2r)

Passo 5

Para a letra (b) impomos R=5,mg e resolvemos para v0:
mg + 2a,ml(v0^2 + 2g,a c^2r) = 5,mg ;Longrightarrow; g + 2al(v0^2 + 2g,a c^2r) = 5g
2a,v0^2 = 4g - 4g,a^2c^2 Longrightarrow v0^2 = 2gal(1 - a^2c^2r) Longrightarrow v0 = raiz2ga,l(1 - a^2c^2r)

Resposta

a)
v = raizv0^2 + 2g,a c^2, R = mg + 2a,ml(v0^2 + 2g,a c^2r)
b)
v0 = raiz2ga,l(1 - a^2c^2r)

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