Em uma determinada região limitada do espaço, existe o seguinte campo de forças dado por: F=-y^2 z^3 i-2 x y z^3 j-3 x y^2 z^2 k, a) Determine se o campo de forças é conservativo ou não. b) Se o campo de forças for conservativo, determine a função potencial V(x, y, z), considerando que o potencial é nulo na origem. Caso contrário, diga que o campo é nãoconservativo.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de forças
F(x,y,z) = -y^2z^3,i;-;2xyz^3,j;-;3xy^2z^2,k
e pede (a) verificar se ele é conservativo (isto é, se existe uma função potencial V tal que F=-nabla V) e, em caso positivo, (b) determinar V(x,y,z) com V(0,0,0)=0. Para isso vamos usar o teste de conservatividade via o rotacional (curl).

Passo 2

Calculamos o rotacional nablatimesF pelas definições
(nablatimesF)x = partial Fzpartial y - partial Fypartial z, (nablatimesF)y = partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, (nablatimesF)z = partial Fypartial x - partial Fxpartial y
Tomando
Fx = -y^2 z^3, Fy = -2 x y z^3, Fz = -3 x y^2 z^2,
calculamos cada componente:
(nablatimesF)x = partialpartial y(-3xy^2z^2) - partialpartial z(-2xyz^3) = -6xyz^2 -(-6xyz^2) =0,
(nablatimesF)y = partialpartial z(-y^2z^3) - partialpartial x(-3xy^2z^2) = -3y^2z^2 -(-3y^2z^2) =0,
(nablatimesF)z = partialpartial x(-2xyz^3) - partialpartial y(-y^2z^3) = -2yz^3 -(-2yz^3) =0

Passo 3

Como nablatimesF=0 em toda a região e assumindo que essa região é simplesmente conexa (sem “buracos”), concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial V tal que F=-nabla V, escrevemos
-nabla V = l(-tfracpartial Vpartial x,-tfracpartial Vpartial y,-tfracpartial Vpartial zr) = l(Fx,Fy,Fzr)
Logo
partial Vpartial x = -Fx = y^2z^3, partial Vpartial y = -Fy = 2xyz^3, partial Vpartial z = -Fz = 3xy^2z^2
Integramos a primeira equação em x:
V(x,y,z) = integral y^2z^3,dx = x,y^2z^3 + h(y,z)

Passo 5

Para determinar h(y,z) usamos as outras derivadas parciais.
partial Vpartial y = 2xyz^3 + partial hpartial y =2xyz^3 Longrightarrow partial hpartial y=0
partial Vpartial z = 3xy^2z^2 + dhdz =3xy^2z^2 Longrightarrow dhdz=0
Logo h é constante. Como V(0,0,0)=0, essa constante vale zero.

Resposta

V(x,y,z) = x,y^2,z^3

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