Em uma determinada região limitada do espaço, existe o seguinte campo de forças dado por:
, a) Determine se o campo de forças é conservativo ou não. b) Se o campo de forças for conservativo, determine a função potencial
, considerando que o potencial é nulo na origem. Caso contrário, diga que o campo é nãoconservativo.
Passo 1
O enunciado nos dá um campo de forças
e pede (a) verificar se ele é conservativo (isto é, se existe uma função potencial
tal que
) e, em caso positivo, (b) determinar
com
. Para isso vamos usar o teste de conservatividade via o rotacional (curl).
Passo 2
Calculamos o rotacional
pelas definições
Tomando
calculamos cada componente:
Passo 3
Como
em toda a região e assumindo que essa região é simplesmente conexa (sem “buracos”), concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para achar o potencial
tal que
, escrevemos
Logo
Integramos a primeira equação em
:
Passo 5
Para determinar
usamos as outras derivadas parciais.
Logo
é constante. Como
, essa constante vale zero.