Exercício 4-Uma casca esférica condutora de raio interno b e raio externo c é concêntrica com uma pequena esfera metálica de raio a<b. A esfera metálica tem uma carga positiva Q. A carga total na casca esférica condutora é -Q. (a) Qual é o potencial da casca esférica? (b) Qual é o potencial da esfera metálica?

Passo 1

O enunciado trata de eletrostática de condutores concêntricos: uma esfera metálica de raio a carrega carga Q e está envolvida por uma casca condutora com raios interno b e externo c, cuja carga total é -Q. Queremos encontrar (a) o potencial da casca e (b) o potencial da esfera interna, tomando V(infty)=0.

Passo 2

Primeiro identificamos o campo elétrico em cada região usando a Lei de Gauss:
  1. Para r>c, as cargas totais são Q+(-Q)=0, logo
E(r)=0(r>c)
  1. Para b<r<c, as cargas em r<b são Q e em r=b são -Q, total interno zero, logo
E(r)=0(b<r<c)
  1. Para a<r<b, só está dentro da superfície gaussiana a carga Q, logo
E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2(a<r<b)
Dentro da esfera condutora ( r<a) o campo também é zero.

Passo 3

Para determinar o potencial da casca, note que em toda a região r>= b temos E(r)=0. Como escolhemos V(infty)=0 e não há queda de potencial de infty até r=b, a casca (que tem potencial uniforme em b<= r<= c) fica em
Vcasca=0

Passo 4

Agora calculamos o potencial da esfera interna em r=a. Usamos
V(a)-V(infty)=-integralinfty^aE(r),dr
Como E=0 de infty até b, só contamos a região de b até a:
V(a)= -integralinfty^b0,dr ;-;integralb^a14pivarepsilon0Qr^2dr =;-,Q4pivarepsilon0l[-1rr]r=b^r=a =Q4pivarepsilon0l(1a-1br)

Resposta

(a) Vcasca=0
(b) Vesfera=Q4pivarepsilon0l(1a-1br)

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