Uma conta de massa m é jogada com uma velocidade v0 da posição x=c>0, em um fio parabólico infinito e sem atrito e de equação: y(x)=a x^2, com a>0.
Determine a velocidade mínima que a conta deve partir do mesmo ponto da letra anterior para que a força de vínculo na origem seja igual a: R=5 mg.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma conta de massa $ m $ que é lançada com uma velocidade inicial $ v_0 $ a partir de uma posição $ x = c > 0 $ em um fio parabólico definido por $ y(x) = a x^2 $, onde $ a > 0 $. A missão aqui é descobrir qual a velocidade mínima $ v_0 $ que a conta precisa ter para que, quando ela chegar na origem ($ x = 0 $), a força normal seja $ R = 5 mg $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, mais especificamente sobre movimento em superfícies curvas e forças envolvidas. Vamos usar conceitos de energia mecânica e leis de Newton para achar a velocidade mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o movimento. A conta está se movendo ao longo do fio parabólico $ y(x) = a x^2 y(x) = a x^2 x = 0 $), queremos que a força normal seja $ R = 5 mg $.
A força normal $ R $ é a força que a superfície exerce sobre o objeto perpendicularmente. Na origem, ela vai equilibrar outras forças que atuam na conta, como a gravidade e a força centrípeta necessária para a curva.

Passo 3

Vamos analisar as forças na origem. Na origem, o fio tem uma inclinação que pode ser encontrada derivando $ y(x) $:
y(x)
Na origem ($ x = 0 $), a inclinação é zero, ou seja, o fio é horizontal. Então, a única força vertical além da força normal é a gravidade.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical:
dydx = 2a x
Onde $ a_y $ é a aceleração vertical da conta na origem.

Passo 4

Na origem, a conta ainda está momentaneamente em movimento e precisa de uma aceleração centrípeta para seguir a curvatura do fio. Essa aceleração centrípeta é dada por:
ac = v^2r
Onde $ v $ é a velocidade na origem e $ r $ é o raio de curvatura do fio na origem.

Passo 5

Vamos encontrar o raio de curvatura $ r $ para o fio $ y(x) = a x^2 $ na origem. A fórmula para o raio de curvatura de uma função $ y(x) $ é:
r
Calculando as derivadas na origem:
y(x) = a x^2
y(x)
Substituindo na fórmula do raio de curvatura:
r = [1 + (dydx)^2]^3/2|d^2ydx^2|

Passo 6

Agora, sabemos que a aceleração centrípeta na origem é:
ac = v^2r = v^2 cdot 2a
Essa aceleração está relacionada à força necessária para manter a conta na trajetória curva do fio.

Passo 7

Voltando à equação das forças, temos:
R - mg = m cdot ac
5mg - mg = m cdot (2a v^2)
4mg = 2am v^2
Simplificando:
4g = 2a v^2
v^2 = 4g2a = 2ga

Passo 8

Agora, para encontrar a velocidade mínima $ v_0 $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v0

Resposta

A velocidade mínima que a conta deve ter é $ v_0 = \sqrt{\dfrac{2g}{a}} $.

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