Uma massa
está localizada na origem em um fio parabólico com seu eixo na vertical e sem atrito. Se
, com
e constante, for a equação da parábola, determine a altura máxima que uma conta pode subir sem atrito, se ela parte da origem com velocidade inicial igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa $ m $ que está na origem de um fio com formato de parábola dada por $ y = a x^{2} $, onde $ a > 0 $. O fio é vertical e sem atrito. A massa parte da origem com uma velocidade inicial $ v_{0} $. Queremos descobrir até qual altura máxima $ y $ essa massa consegue subir sem perder energia por atrito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como energia cinética e potencial, além de conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da energia cinética e da energia potencial. A energia cinética ($ E_{cin} $) é dada por:
E a energia potencial gravitacional ($ E_{pot} $) é:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Como não há atrito, a energia total do sistema é conservada. Isso significa que a energia cinética inicial mais a energia potencial inicial é igual à energia cinética final mais a energia potencial final. No ponto de partida, a massa está na origem ($ y = 0 $) e com velocidade $ v_{0} $, então a energia total inicial é apenas a energia cinética:
Passo 4
No ponto mais alto que a massa pode alcançar, toda a energia cinética será convertida em energia potencial, já que a velocidade será zero ($ v = 0 $). Assim, a energia total final será:
onde $ y_{max} $ é a altura máxima que queremos encontrar.
Passo 5
Igualando a energia total inicial com a final, temos:
Podemos simplificar removendo o $ m $ dos dois lados da equação:
Passo 6
Agora, isolamos $ y_{max} $ para encontrar a altura máxima:
Resposta
A altura máxima que a massa pode alcançar é $ y_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} $.