(3) Conta-se o \mathrm{n}^{\mathrm{O}} de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O número de acidentes em questão pode ser: 0,1,2, \ldots Como não temos um valor que limite esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não negativo.
Passo 1
O enunciado fornecido diz que se conta o número de acidentes que ocorrem numa rodovia num feriado prolongado e que esse número pode ser 0,1,2,\ldots (ou seja, qualquer inteiro não negativo). Não há nenhuma pergunta explícita no enunciado que você me enviou — não foi pedido para calcular uma probabilidade, ajustar um modelo, estimar um parâmetro, testar uma hipótese nem nada do tipo. Informações dadas:
O objeto contado é o número de acidentes durante o feriado.
Os valores possíveis são os inteiros não negativos \{0,1,2,\ldots\}.
Não foi dado nenhum dado numérico (por ex. número observado de acidentes em várias repetições) nem nenhum parâmetro (por ex. uma média esperada).
Passo 2
Como o enunciado não tem pergunta, eu não posso dar uma resposta numérica final ao “problema” — falta definir o que se quer calcular. Mas, como você está estudando e provavelmente seu professor quer que vocês modelem contagens de acidentes, vou aproveitar para te ensinar o caminho típico usado nesse tipo de questão: modelagem por Poisson. Primeiro, por que a Poisson aparece aqui? Porque normalmente, quando contamos eventos discretos que:
ocorrem em um intervalo de tempo (aqui: um feriado),
são raros individualmente e independentes (um acidente não causa diretamente uma sucessão imediata de muitos acidentes a cada instante),
têm taxa média constante no intervalo,
então o modelo padrão é o processo de Poisson e a contagem total segue a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda (a taxa média de acidentes no feriado).
Passo 3
Definição e fórmula da distribuição de Poisson. Se X é o número de acidentes no feriado e X segue Poisson com parâmetro \lambda>0, escrevemos X\sim Poisson(\lambda) e a probabilidade de ocorrer exatamente k acidentes é:
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
\Pr(X=k) é a probabilidade de observar exatamente k acidentes,
e é a base dos logaritmos naturais,
\lambda é a média esperada (também variância, vou explicar) de acidentes por feriado,
k é um inteiro não negativo (k=0,1,2,\ldots).
Explicando em palavras: para calcular a probabilidade de, por exemplo, exatamente 2 acidentes, substituímos k=2 na fórmula.
Passo 4
Propriedades úteis (e por que importam na prova). A esperança (média) e a variância da Poisson têm forma simples:
\mathbb{E}[X]=\lambda,
\operatorname{Var}(X)=\lambda.
Ou seja, média e variância são iguais — isso é um sinal típico de Poisson. Vou mostrar rapidamente a ideia por trás de \mathbb{E}[X]=\lambda (sem pular passos essenciais). Começamos da definição:
\mathbb{E}[X]=\sum_{k=0}^{\infty} k \Pr(X=k)=\sum_{k=0}^{\infty} k e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.
Extraímos e^{-\lambda} e reescrevemos o somatório usando que k\frac{\lambda^k}{k!}=\lambda\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}. Então
Isso usa o fato conhecido \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!}=e^{\lambda}. A variância pode ser obtida por cálculo semelhante (ou lembrando que para a Poisson \operatorname{Var}(X)=\lambda).
Passo 5
Como calcular probabilidades na prática (passo a passo para a prova). Suponha que o problema diga “qual a probabilidade de não haver acidentes no feriado, dado que a média é \lambda?”. Então você calcula
Exemplo numérico didático: se a média fosse \lambda=2 acidentes por feriado, então
\Pr(X=0)=e^{-2}\approx0,1353.
Passos para a prova:
Identifique que a variável é contagem inteira e verifique hipóteses (eventos raros/independentes/mesma taxa).
Use a fórmula de Poisson para o k pedido.
Simplifique (por ex. para k=0 sobra e^{-\lambda}).
Se preciso, use aproximação numérica de e^{-\lambda} (lembrando de usar a vírgula decimal: 0,1353).
Passo 6
Estimação do parâmetro \lambda — como fazer se o enunciado pede estimar a taxa a partir de dados. Suponha que você observe n feriados (ou n trechos independentes semelhantes) e que os números de acidentes observados sejam x_1,x_2,\ldots,x_n. O estimador máximo verossimilhança (MLE) para \lambda é a média amostral:
Derivação curta: a verossimilhança é produto das probabilidades Poisson e o log-verossimilhança leva a derivada que igualada a zero dá justamente a média amostral. Na prova, você pode escrever o passo a passo da diferenciação se pedirem.
Passo 7
Intervalo de confiança e teste simples (ideia prática). Para grandes n, por CLT, \hat{\lambda} é aproximadamente normal com média \lambda e variância \lambda/n. Assim um intervalo de confiança aproximado de 100(1-\alpha)\% para \lambda é
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal padrão (por ex. z_{0,975}\approx1,96 para 95\%). Para testes de hipótese simples sobre \lambda (por ex. H_0:\lambda=\lambda_0), você pode usar estatística baseada em \frac{\hat{\lambda}-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}} que, sob H_0, é aproximadamente \mathcal{N}(0,1) para grande n.
Passo 8
Observações práticas e dicas de prova (empatia: você consegue). Se o enunciado da sua prova for curto e pedir “modele o número de acidentes e calcule a probabilidade de pelo menos 1 acidente”, responde rapidamente: “modelo Poisson(\lambda), então \Pr(X\ge1)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-\lambda}”. Em prova com pouco tempo:
identifica se é contagem independente em intervalo fixo → pensar Poisson;
troque pedidos como “pelo menos um” por complemento 1-\Pr(X=0);
memorize \Pr(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^{k}/k! e \mathbb{E}[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda;
se pedirem estimar \lambda, calcula a média amostral.
Passo 9
Conclusão sobre o enunciado que você me mandou. Como não há pergunta, eu não posso calcular um número ou dar uma “resposta final” específica para um exercício inexistente. Se você colar a continuação do enunciado (por ex. “qual a probabilidade de 0 acidentes se \lambda=1{,}5?” ou “dado uma amostra, estime \lambda”), eu resolvo passo a passo do jeitinho que você pediu, exemplificando cada fórmula e simplificando todas as contas.
Resposta
Não é possível resolver o exercício porque o enunciado está incompleto: não há nenhuma pergunta explícita a ser respondida.