(2) Contínuas:
é uma variável aleatória contínua, se o contradominio de
for um intervalo ou uma coleção de intervalos.
Passo 1
Enunciado recebido: “(2) Contínuas:
é uma variável aleatória contínua, se o contradomínio de
for um intervalo ou uma coleção de intervalos.”
O que o enunciado pede (de forma explícita): decidir se a afirmação é correta e justificar.
Informações dadas: a condição proposta para ser “contínua” é que o contradomínio (target/codomain) de seja um intervalo ou uma coleção de intervalos.
Informações dadas: a condição proposta para ser “contínua” é que o contradomínio (target/codomain) de
Passo 2
Primeiro precisamos organizar as noções básicas que vamos usar (sem pular etapas). Vou apresentar definições e diferenças entre termos que aparecem no enunciado:
Definição de variável aleatória e distribuição: uma variável aleatória
é uma função mensurável de um espaço de probabilidade para
. A distribuição de
é a medida de probabilidade
definida por
para todo conjunto boreliano
.
Distinção importante entre “contradomínio”, “imagem (range)” e “suporte”:
- O contradomínio (codomain) é o conjunto onde se declara que
toma valores (por exemplo , ou o intervalo ). Esse é um dado formal da função e pode ser escolhido grande sem alterar a distribuição. - A imagem (range) é o conjunto de valores realmente assumidos por
(ou seja ). - O suporte é, grosseiramente, o fechamento dos pontos onde a distribuição não é nula; tecnicamente o menor fechado cujo complemento tem medida zero.
Já que o enunciado fala em “contradomínio”, é crucial perceber que contradomínio pode ser arbitrariamente grande (por exemplo sempre podemos considerar o contradomínio como
) — portanto essa informação isolada não determina como a probabilidade está distribuída.
Passo 3
Agora vamos às definições de que precisamos para decidir se a afirmação é verdadeira.
Existem várias classificações de variáveis aleatórias, as principais são:
- Discreta: a distribuição é concentrada em um conjunto contável; existe uma função massa
para em um conjunto contável e . - Absolutamente contínua (o que muitos chamam simplesmente de “contínua”): existe uma função densidade
tal que, para todo conjunto boreliano ,
ou equivalentemente a distribuição
é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue
(escreve-se
). Para tais variáveis temos
para todo
e as probabilidades de intervalos são dadas por integrais de
.
- Singulares contínuas: situações “estranhas” como a distribuição de Cantor: não têm massa atômica (
para todo ) mas também não possuem densidade em relação à medida de Lebesgue; a medida é concentrada em um conjunto de Lebesgue nulo. - Misturas: combinações de uma parte discreta (átomos) e uma parte absolutamente contínua.
Observação prática: muitos livros-elementares definem “variável contínua” como aquela que possui densidade
(absolutamente contínua). Essa é a definição mais útil em várias disciplinas. Mas há noções mais fracas, como “não possui átomos” (i.e.,
para todo
), que não implicam existência de densidade.
Passo 4
Por que a frase do enunciado está incorreta? Dois pontos-chave:
-
O contradomínio pode ser escolhido arbitrariamente grande e não diz nada sobre a distribuição. Exemplo simples: podemos definir um r.v. Bernoulli
com . Formalmente podemos dizer que (então o contradomínio é o intervalo ), mas a distribuição de é discreta (valores apenas em ). Portanto ter contradomínio um intervalo NÃO garante que seja contínua. -
Mesmo restringindo a imagem (range) a um intervalo, não é suficiente: existe distribuição sem átomos (i.e.,
para todo ) que não é absolutamente contínua — exemplo clássico é a distribuição de Cantor, que tem suporte em , dá para todo , mas não possui densidade (não é representável por uma função integrável com respeito à medida de Lebesgue). Assim, mesmo a imagem sendo um intervalo e sem pontos de massa, ainda pode não haver densidade.
Conclusão lógica: a condição “contradomínio é um intervalo ou coleção de intervalos” é insuficiente — e por isso a afirmação é falsa.
Passo 5
Vou dar contraexemplos explícitos e simples, passo a passo, para ficar clarinho na prova:
Contraexemplo 1 — contradomínio intervalo mas variável discreta:
Defina com
. Podemos formalizar
como função com contradomínio
(ou
), então o contradomínio é um intervalo. Ainda assim
é discreta (tem átomos em
e
). Logo a condição do enunciado não garante continuidade.
Defina
Contraexemplo 2 — imagem contida em um intervalo, sem átomos, mas sem densidade:
Existe com distribuição de Cantor (às vezes chamada distribuição ternária de Cantor). Para essa
temos:
Existe
e a imagem (suporte) está contida em
, mas não existe
tal que
. Assim
não é absolutamente contínua, embora não tenha pontos de massa. Isso mostra outra falha na afirmação do enunciado.
Passo 6
Resumindo as ideias úteis para a hora da prova (como eu faria se estivesse no seu lugar):
- Pergunte (mentalmente): a distribuição tem uma função densidade
tal que ? Se sim, é uma variável absolutamente contínua (o que muitos chamam apenas de “contínua”). - Se só te dizem “o contradomínio é um intervalo”, não aceita isso como prova de continuidade; peça (ou procure no enunciado) informação sobre a distribuição (massa pontual vs densidade).
- Se
para algum , então definitivamente não é absolutamente contínua (é discreta ou mista). - Lembre:
para todo é necessário para existir densidade, mas não é suficiente (existem distribuições singulares).
Passo 7
Um resumo curto e motivador: não se desespere — a maneira prática de identificar é verificar existência de densidade ou presença de átomos. Nunca use apenas o contradomínio para decidir o tipo da variável; o que importa é como a probabilidade está espalhada sobre esse contradomínio.
Resposta
Falso.