(2) Contínuas: X é uma variável aleatória contínua, se o contradominio de X for um intervalo ou uma coleção de intervalos.

Passo 1

Enunciado recebido: “(2) Contínuas: X é uma variável aleatória contínua, se o contradomínio de X for um intervalo ou uma coleção de intervalos.”
O que o enunciado pede (de forma explícita): decidir se a afirmação é correta e justificar.
Informações dadas: a condição proposta para ser “contínua” é que o contradomínio (target/codomain) de X seja um intervalo ou uma coleção de intervalos.

Passo 2

Primeiro precisamos organizar as noções básicas que vamos usar (sem pular etapas). Vou apresentar definições e diferenças entre termos que aparecem no enunciado:
Definição de variável aleatória e distribuição: uma variável aleatória X é uma função mensurável de um espaço de probabilidade para \mathbb{R}. A distribuição de X é a medida de probabilidade \mu_X definida por
\mu_X(B)=\mathbb{P}(X\in B)
para todo conjunto boreliano B\subset\mathbb{R}.
Distinção importante entre “contradomínio”, “imagem (range)” e “suporte”:
  • O contradomínio (codomain) é o conjunto onde se declara que X toma valores (por exemplo \mathbb{R}, ou o intervalo [0,1]). Esse é um dado formal da função e pode ser escolhido grande sem alterar a distribuição.
  • A imagem (range) é o conjunto de valores realmente assumidos por X (ou seja \{x\in\mathbb{R}: \exists \omega, X(\omega)=x\}).
  • O suporte é, grosseiramente, o fechamento dos pontos onde a distribuição não é nula; tecnicamente o menor fechado cujo complemento tem medida zero.
Já que o enunciado fala em “contradomínio”, é crucial perceber que contradomínio pode ser arbitrariamente grande (por exemplo sempre podemos considerar o contradomínio como \mathbb{R}) — portanto essa informação isolada não determina como a probabilidade está distribuída.

Passo 3

Agora vamos às definições de que precisamos para decidir se a afirmação é verdadeira.
Existem várias classificações de variáveis aleatórias, as principais são:
  • Discreta: a distribuição é concentrada em um conjunto contável; existe uma função massa p(x)=\mathbb{P}(X=x) para x em um conjunto contável e \sum p(x)=1.
  • Absolutamente contínua (o que muitos chamam simplesmente de “contínua”): existe uma função densidade f tal que, para todo conjunto boreliano B,
\mathbb{P}(X\in B)=\int_{B} f(x)\,dx,
ou equivalentemente a distribuição \mu_X é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue \lambda (escreve-se \mu_X\ll\lambda). Para tais variáveis temos \mathbb{P}(X=x)=0 para todo x e as probabilidades de intervalos são dadas por integrais de f.
  • Singulares contínuas: situações “estranhas” como a distribuição de Cantor: não têm massa atômica ( \mathbb{P}(X=x)=0 para todo x) mas também não possuem densidade em relação à medida de Lebesgue; a medida é concentrada em um conjunto de Lebesgue nulo.
  • Misturas: combinações de uma parte discreta (átomos) e uma parte absolutamente contínua.
Observação prática: muitos livros-elementares definem “variável contínua” como aquela que possui densidade f (absolutamente contínua). Essa é a definição mais útil em várias disciplinas. Mas há noções mais fracas, como “não possui átomos” (i.e., \mathbb{P}(X=x)=0 para todo x), que não implicam existência de densidade.

Passo 4

Por que a frase do enunciado está incorreta? Dois pontos-chave:
  1. O contradomínio pode ser escolhido arbitrariamente grande e não diz nada sobre a distribuição. Exemplo simples: podemos definir um r.v. Bernoulli X com \mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=1/2. Formalmente podemos dizer que X:\Omega\to[0,1] (então o contradomínio é o intervalo [0,1]), mas a distribuição de X é discreta (valores apenas em \{0,1\}). Portanto ter contradomínio um intervalo NÃO garante que X seja contínua.
  2. Mesmo restringindo a imagem (range) a um intervalo, não é suficiente: existe distribuição sem átomos (i.e., \mathbb{P}(X=x)=0 para todo x) que não é absolutamente contínua — exemplo clássico é a distribuição de Cantor, que tem suporte em [0,1], dá \mathbb{P}(X=x)=0 para todo x, mas não possui densidade (não é representável por uma função f integrável com respeito à medida de Lebesgue). Assim, mesmo a imagem sendo um intervalo e sem pontos de massa, ainda pode não haver densidade.
Conclusão lógica: a condição “contradomínio é um intervalo ou coleção de intervalos” é insuficiente — e por isso a afirmação é falsa.

Passo 5

Vou dar contraexemplos explícitos e simples, passo a passo, para ficar clarinho na prova:
Contraexemplo 1 — contradomínio intervalo mas variável discreta:
Defina X com \mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=1/2. Podemos formalizar X como função com contradomínio [0,1] (ou \mathbb{R}), então o contradomínio é um intervalo. Ainda assim X é discreta (tem átomos em 0 e 1). Logo a condição do enunciado não garante continuidade.
Contraexemplo 2 — imagem contida em um intervalo, sem átomos, mas sem densidade:
Existe X com distribuição de Cantor (às vezes chamada distribuição ternária de Cantor). Para essa X temos:
\mathbb{P}(X=x)=0\quad\text{para todo }x,
e a imagem (suporte) está contida em [0,1], mas não existe f tal que \mathbb{P}(X\in B)=\int_B f(x)\,dx. Assim X não é absolutamente contínua, embora não tenha pontos de massa. Isso mostra outra falha na afirmação do enunciado.

Passo 6

Resumindo as ideias úteis para a hora da prova (como eu faria se estivesse no seu lugar):
  • Pergunte (mentalmente): a distribuição tem uma função densidade f tal que \mathbb{P}(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx? Se sim, é uma variável absolutamente contínua (o que muitos chamam apenas de “contínua”).
  • Se só te dizem “o contradomínio é um intervalo”, não aceita isso como prova de continuidade; peça (ou procure no enunciado) informação sobre a distribuição (massa pontual vs densidade).
  • Se \mathbb{P}(X=x)>0 para algum x, então definitivamente não é absolutamente contínua (é discreta ou mista).
  • Lembre: \mathbb{P}(X=x)=0 para todo x é necessário para existir densidade, mas não é suficiente (existem distribuições singulares).

Passo 7

Um resumo curto e motivador: não se desespere — a maneira prática de identificar é verificar existência de densidade ou presença de átomos. Nunca use apenas o contradomínio para decidir o tipo da variável; o que importa é como a probabilidade está espalhada sobre esse contradomínio.

Resposta

Falso.

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