Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0,1,2, \ldots, 10.

Passo 1

O enunciado diz: lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. O número observado pode ser 0,1,2,\ldots,10.
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • Fazemos 10 lançamentos independentes da mesma moeda.
  • Em cada lançamento há apenas dois resultados possíveis: cara ou coroa.
  • A variável aleatória de interesse é o número total de caras obtidas em 10 lançamentos.
    Não foi dada outra instrução explícita, então vamos descrever completamente a distribuição dessa variável (função de probabilidade), calcular probabilidades gerais, a esperança e a variância, e explicar passo a passo como obter esses resultados.

Passo 2

Modelagem como soma de ensaios de Bernoulli — explicação didática.
Cada lançamento da moeda é um ensaio de Bernoulli: um experimento que tem só dois resultados (sucesso = “cara”, fracasso = “coroa”). Vou chamar de sucesso o evento “sai cara”. Denoto por X_i\) a variável indicadora do \(i\)-ésimo lançamento: \[X_i = \begin{cases} 1, & \text{se no lançamento \(i sai cara},\ 0, & se no lançamento i sai coroa. \end{cases}]
Nesse modelo, X_i tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p, onde p é a probabilidade de cara em um lançamento. Como a moeda não foi dita enviesada, assumimos a moeda justa, logo p=\tfrac{1}{2}. A variável que nos interessa é a soma desses indicadores:
X = \sum_{i=1}^{10} X_i,
ou seja, X conta quantas vezes X_i=1 entre os 10 lançamentos.

Passo 3

Probabilidade de um resultado específico com k caras numa sequência fixa — ideia básica.
Se fixarmos uma sequência particular de 10 resultados (por exemplo, C C C C C C C C C C ou qualquer sequência com posições marcadas), a probabilidade de que nesses 10 resultados ocorra exatamente uma sequência com k caras e 10-k coroas, numa ordem específica, é
p^{k}(1-p)^{10-k}.
Aqui estamos usando que os lançamentos são independentes, então a probabilidade do produto de eventos é o produto das probabilidades. Para moeda justa, isto é \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10-k}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.

Passo 4

Contagem de quantas sequências têm exatamente k caras — combinações.
Para obter P(X=k) precisamos contar quantas sequências distintas de 10 lançamentos têm exatamente k caras (independentemente da ordem). Esse número é dado por combinações: escolher k posições dentre 10 para colocar as caras. A fórmula do número de combinações é
\binom{10}{k} = \frac{10!}{k!(10-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1. Por exemplo, para k=5 temos
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=252.
Expliquei o cálculo passo a passo: cancelei os fatores comuns do 10! e de 5!5!.

Passo 5

Fórmula final da função de probabilidade (PMF) — derivação completa.
Juntando a contagem de sequências com a probabilidade de cada sequência, obtemos a função de probabilidade de X:
P(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k},\qquad k=0,1,\dots,10.
Como estamos assumindo moeda justa, p=\tfrac{1}{2}, então a fórmula fica
P(X=k)=\binom{10}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10},\qquad k=0,1,\dots,10.
Isso é a distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Exemplos numéricos de probabilidades (mostrar como calcular na prova).
  • Para k=0 (nenhuma cara): \binom{10}{0}=1, então
P(X=0)=1\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}\approx 0,0009766.
  • Para k=5 (exemplo do valor mais provável): \binom{10}{5}=252, então
P(X=5)=252\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}\approx 0,2460938.
Na prova, basta calcular \binom{10}{k} e multiplicar por \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}. Evite calculadora se puder simplificar frações como acima.

Passo 7

Esperança (média) — derivação didática usando soma de Bernoullis.
Para cada indicador X_i temos E(X_i)=p (essa é a média de uma Bernoulli: vale 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade 1-p, então a média é 1\cdot p + 0\cdot(1-p)=p). Usando a linearidade da esperança (a soma das esperanças é a esperança da soma, independente de independência), obtemos
E(X)=E\Big(\sum_{i=1}^{10} X_i\Big)=\sum_{i=1}^{10} E(X_i)=10p.
Com p=\tfrac{1}{2} isso dá
E(X)=10\cdot\tfrac{1}{2}=5.
Interpretação: em média esperamos 5 caras em 10 lançamentos.

Passo 8

Variância — cálculo passo a passo.
Para uma Bernoulli X_i vale \operatorname{Var}(X_i)=p(1-p). Como os X_i são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{10}\operatorname{Var}(X_i)=10\cdot p(1-p).
Com p=\tfrac{1}{2} temos
\operatorname{Var}(X)=10\cdot \tfrac{1}{2}\cdot\big(1-\tfrac{1}{2}\big)=10\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=10\cdot\tfrac{1}{4}= \tfrac{10}{4}=2,5.
Desvio padrão seria \sqrt{2,5}\approx 1,5811, se for necessário.

Passo 9

Outras propriedades úteis para a prova (moda, simetria).
  • Como p=\tfrac{1}{2}, a distribuição é simétrica em torno de k=5.
  • A moda (valor mais provável) da binomial com n=10 e p=\tfrac{1}{2} é k=5 (única moda aqui, porque (n+1)p=11/2 não é inteiro).
    Essas observações ajudam a responder perguntas do tipo “qual valor mais provável?” rapidamente sem cálculos pesados.

Passo 10

Resumo prático de como resolver esse tipo de questão na prova (guia rápido):
  1. Identifique que são n=10 ensaios independentes e cada um é Bernoulli com p=\tfrac{1}{2}.
  2. Use a fórmula binomial P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
  3. Para reduzir conta, calcule \binom{n}{k} cancelando fatoriais e multiplique por \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
  4. Para média e variância use E(X)=np e \operatorname{Var}(X)=np(1-p).

Resposta

X\sim \mathrm{Bin}\big(10,\tfrac{1}{2}\big)
P(X=k)=\binom{10}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10},\quad k=0,1,\dots,10
E(X)=5
\operatorname{Var}(X)=2,5

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