Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser
.
Passo 1
O enunciado diz: lança-se uma moeda
vezes e anota-se o número de caras. O número observado pode ser
.
Informações relevantes que o enunciado deu:
Informações relevantes que o enunciado deu:
- Fazemos
lançamentos independentes da mesma moeda. - Em cada lançamento há apenas dois resultados possíveis: cara ou coroa.
- A variável aleatória de interesse é o número total de caras obtidas em
lançamentos.
Não foi dada outra instrução explícita, então vamos descrever completamente a distribuição dessa variável (função de probabilidade), calcular probabilidades gerais, a esperança e a variância, e explicar passo a passo como obter esses resultados.
Passo 2
Modelagem como soma de ensaios de Bernoulli — explicação didática.
Cada lançamento da moeda é um ensaio de Bernoulli: um experimento que tem só dois resultados (sucesso = “cara”, fracasso = “coroa”). Vou chamar de sucesso o evento “sai cara”. Denoto por
sai cara},\ 0, & se no lançamento
sai coroa. \end{cases}]
Nesse modelo,
tem distribuição de Bernoulli com parâmetro
, onde
é a probabilidade de cara em um lançamento. Como a moeda não foi dita enviesada, assumimos a moeda justa, logo
. A variável que nos interessa é a soma desses indicadores:
ou seja,
conta quantas vezes
entre os
lançamentos.
Passo 3
Probabilidade de um resultado específico com
caras numa sequência fixa — ideia básica.
Se fixarmos uma sequência particular de resultados (por exemplo, C C C C C C C C C C ou qualquer sequência com posições marcadas), a probabilidade de que nesses
resultados ocorra exatamente uma sequência com
caras e
coroas, numa ordem específica, é
Se fixarmos uma sequência particular de
Aqui estamos usando que os lançamentos são independentes, então a probabilidade do produto de eventos é o produto das probabilidades. Para moeda justa, isto é
.
Passo 4
Contagem de quantas sequências têm exatamente
caras — combinações.
Para obter precisamos contar quantas sequências distintas de
lançamentos têm exatamente
caras (independentemente da ordem). Esse número é dado por combinações: escolher
posições dentre
para colocar as caras. A fórmula do número de combinações é
Para obter
onde
(fatorial) significa
. Por exemplo, para
temos
Expliquei o cálculo passo a passo: cancelei os fatores comuns do
e de
.
Passo 5
Fórmula final da função de probabilidade (PMF) — derivação completa.
Juntando a contagem de sequências com a probabilidade de cada sequência, obtemos a função de probabilidade de :
Juntando a contagem de sequências com a probabilidade de cada sequência, obtemos a função de probabilidade de
Como estamos assumindo moeda justa,
, então a fórmula fica
Isso é a distribuição Binomial com parâmetros
e
.
Passo 6
Exemplos numéricos de probabilidades (mostrar como calcular na prova).
- Para
(nenhuma cara): , então
- Para
(exemplo do valor mais provável): , então
Na prova, basta calcular
e multiplicar por
. Evite calculadora se puder simplificar frações como acima.
Passo 7
Esperança (média) — derivação didática usando soma de Bernoullis.
Para cada indicador temos
(essa é a média de uma Bernoulli: vale
com probabilidade
e
com probabilidade
, então a média é
). Usando a linearidade da esperança (a soma das esperanças é a esperança da soma, independente de independência), obtemos
Para cada indicador
Com
isso dá
Interpretação: em média esperamos 5 caras em 10 lançamentos.
Passo 8
Variância — cálculo passo a passo.
Para uma Bernoulli vale
. Como os
são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Para uma Bernoulli
Com
temos
Desvio padrão seria
, se for necessário.
Passo 9
Outras propriedades úteis para a prova (moda, simetria).
- Como
, a distribuição é simétrica em torno de . - A moda (valor mais provável) da binomial com
e é (única moda aqui, porque não é inteiro).
Essas observações ajudam a responder perguntas do tipo “qual valor mais provável?” rapidamente sem cálculos pesados.
Passo 10
Resumo prático de como resolver esse tipo de questão na prova (guia rápido):
- Identifique que são
ensaios independentes e cada um é Bernoulli com . - Use a fórmula binomial
. - Para reduzir conta, calcule
cancelando fatoriais e multiplique por . - Para média e variância use
e .