(1,0) Nos pontos mais solicitados de um eixo sujeito a uma torção pura tem-se que no plano onde atua a tensão:
a) Cisalhante máxima, a tensão normal é nula.
b) Cisalhante máxima, a tensão normal é mínima.
c) Cisalhante máxima, a tensão normal é também máxima
d) Normal máxima, a tensão cisalhante é mínima
e) Normal mínima, a tensão cisalhante é mínima.

Passo 1

O enunciado dá uma situação de eixo submetido a torção pura e pede que se escolha qual das alternativas descreve corretamente o comportamento das tensões “no plano onde atua a tensão” (ou seja, no plano em que a tensão cisalhante é mais solicitante). As alternativas são:
a) Cisalhante máxima, a tensão normal é nula.
b) Cisalhante máxima, a tensão normal é mínima.
c) Cisalhante máxima, a tensão normal é também máxima.
d) Normal máxima, a tensão cisalhante é mínima.
e) Normal mínima, a tensão cisalhante é mínima.
Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
  • Trata-se de torção pura: nos pontos mais solicitados (superfície do eixo) a tensão resultante é de cisalhamento (tensão de corte tangencial sobre a seção).
  • Queremos relacionar a ocorrência de máxima tensão cisalhante com o valor da tensão normal nesse mesmo plano.

Passo 2

Vamos escrever a descrição matemática do estado de tensão em torção pura, num ponto da superfície do eixo, usando um sistema de eixos conveniente (eixo longitudinal e eixo radial/tangencial do círculo). Para o problema 2D no plano considerado (por exemplo plano tangencial-axial), o estado de tensão típico é:
\sigma_x = 0,\qquad \sigma_y = 0,\qquad \tau_{xy} = \tau,
onde:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y,
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy,
  • \tau é o valor da tensão de cisalhamento produzida pela torção naquele ponto.
Em palavras: sob torção pura não há tensões normais (compressão/tração) nas direções do plano — apenas cisalhamento.

Passo 3

Agora vamos usar as fórmulas de transformação de tensões (fórmulas padrão que dizem como variam a tensão normal e a tensão de cisalhamento quando se considera um plano com orientação \theta em relação aos eixos x,y). As fórmulas são:
\sigma_n(\theta)=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta,
\tau_{nt}(\theta)=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta,
onde:
  • \sigma_n(\theta) é a tensão normal no plano orientado por \theta,
  • \tau_{nt}(\theta) é a tensão de cisalhamento nesse mesmo plano (componente tangencial),
  • \theta é o ângulo entre o eixo x e a normal do plano considerado.
Substituindo \sigma_x=0, \sigma_y=0 e \tau_{xy}=\tau nas fórmulas obtemos:
\sigma_n(\theta)=\tau\sin2\theta,
\tau_{nt}(\theta)=\tau\cos2\theta.

Passo 4

Queremos saber em que \theta a tensão de cisalhamento \tau_{nt}(\theta) é máxima e qual o valor de \sigma_n(\theta) nesse mesmo \theta.
A função \tau_{nt}(\theta)=\tau\cos2\theta atinge seu máximo absoluto quando \cos2\theta=\pm1. Para o máximo positivo tomamos \cos2\theta=1, isto é:
2\theta=0\quad\Rightarrow\quad \theta=0.
No plano \theta=0 (o plano original com que definimos \tau_{xy}) temos
\tau_{nt}(0)=\tau\cos0=\tau,
portanto a tensão de cisalhamento atinge seu valor máximo \tau nesse plano.
Agora calculamos a tensão normal nesse mesmo plano usando \sigma_n(\theta)=\tau\sin2\theta. Para \theta=0:
\sigma_n(0)=\tau\sin0=0.
Logo, no plano onde a tensão cisalhante é máxima a tensão normal vale zero.

Passo 5

Como verificação alternativa (conceito útil para a prova): pelo círculo de Mohr para o caso \sigma_x=\sigma_y=0,\\ \tau_{xy}=\tau, o círculo tem centro em zero e raio \tau. Os pontos do círculo correspondem às tensões normais e cisalhantes em vários planos. Nesse caso os esforços principais (normais) são \sigma_1=+\tau e \sigma_2=-\tau, que ocorrem em planos a 45^\circ (ou \theta=45^\circ) em relação ao plano original. As tensões de cisalhamento máximas ocorrem nos planos onde as tensões normais são zero (os eixos originais), confirmando o resultado anterior.

Resposta

a) Cisalhante máxima, a tensão normal é nula.

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