A contaminação é um problema na fabricação de discos de armazenamento óptico (CDs). O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas é de 4 na área de um disco em estudo. Seja X o número de partículas na área de um disco em estudo. Calcule: (utilize 4 casas decimais)
P(5 square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a contaminação na fabricação de CDs, onde o número de partículas de contaminação segue uma distribuição de Poisson com média (λ) igual a 4. A gente precisa calcular a probabilidade de que o número de partículas $ X $ esteja entre 6 e 7, ou seja, $ P(5 < X \leq 7) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ P(5 < X \leq 7) $. Isso equivale a calcular a probabilidade de $ X $ ser igual a 6 ou 7. Então:
P(5 < X <= 7)

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular cada uma dessas probabilidades. A fórmula é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • $ \lambda = 4 $ (a média)
  • $ k $ é o número de partículas (6 ou 7)
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828)
Vamos calcular $ P(X = 6) $:
lambda = 4
Calculando passo a passo:
  • $ 4^6 = 4096 $
  • $ 6! = 720 $
  • $ e^{-4} \approx 0.0183 $
k

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X = 7) $:
P(X = 7)
Calculando passo a passo:
  • $ 4^7 = 16384 $
  • $ 7! = 5040 $
  • $ e^{-4} \approx 0.0183 $
P(X = 7) = 4^7 cdot e^-47!

Passo 5

Por fim, somamos as duas probabilidades que calculamos:
P(5 < X <= 7) = P(X = 6) + P(X = 7) approx 0.1042 + 0.0595 = 0.1637

Resposta

A probabilidade $ P(5 < X \leq 7) $ é aproximadamente 0,1637.

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