A contaminação é um problema na fabricação de discos de armazenamento óptico (CDs). O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas é de 4 na área de um disco em estudo. Seja
o número de partículas na área de um disco em estudo. Calcule: (utilize 4 casas decimais)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a contaminação na fabricação de CDs, onde o número de partículas de contaminação segue uma distribuição de Poisson com média (λ) igual a 4. A gente precisa calcular a probabilidade de que o número de partículas $ X $ esteja entre 6 e 7, ou seja, $ P(5 < X \leq 7) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ P(5 < X \leq 7) $. Isso equivale a calcular a probabilidade de $ X $ ser igual a 6 ou 7. Então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular cada uma dessas probabilidades. A fórmula é:
Onde:
- $ \lambda = 4 $ (a média)
- $ k $ é o número de partículas (6 ou 7)
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828)
Vamos calcular $ P(X = 6) $:
Calculando passo a passo:
- $ 4^6 = 4096 $
- $ 6! = 720 $
- $ e^{-4} \approx 0.0183 $
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X = 7) $:
Calculando passo a passo:
- $ 4^7 = 16384 $
- $ 7! = 5040 $
- $ e^{-4} \approx 0.0183 $
Passo 5
Por fim, somamos as duas probabilidades que calculamos:
Resposta
A probabilidade $ P(5 < X \leq 7) $ é aproximadamente 0,1637.