A contaminação é um problema na fabricação de discos de armazenamento óptico (CDs). O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas é de 4 na área de um disco em estudo. Seja X o número de partículas na área de um disco em estudo. Calcule: (utilize 4 casas decimais)
P(X>11) square

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema que fala sobre contaminação em discos de armazenamento óptico, tipo CDs. A quantidade de partículas de contaminação segue uma distribuição de Poisson, que é usada para contar eventos que acontecem de forma aleatória num certo intervalo. No caso, a média de partículas é 4 por disco. A gente precisa calcular a probabilidade de ter mais de 11 partículas num disco, ou seja, $ P(X > 11) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da função de massa de probabilidade da Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências,
  • $ k $ é o número de ocorrências desejado,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 3

No nosso caso, $ \lambda = 4 $ e queremos encontrar $ P(X > 11) $. Isso significa que queremos a soma das probabilidades de $ X $ ser 12, 13, 14, e assim por diante até o infinito. Mas calcular isso diretamente é complicado, então vamos usar a propriedade complementar da probabilidade:
lambda = 4

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X \leq 11) $, que é a soma das probabilidades de $ X $ ser de 0 até 11:
P(X <= 11)
Isso significa que precisamos somar as probabilidades para cada $ k $ de 0 a 11 usando a fórmula da Poisson.

Passo 5

Vamos calcular cada termo da soma:
P(X <= 11) = e^-4 4^00! + e^-4 4^11! + e^-4 4^22! + dots + e^-4 4^1111!
Calculando cada termo individualmente e somando todos, obtemos o valor de $ P(X \leq 11) $.

Passo 6

Depois de calcular a soma, usamos a propriedade complementar para encontrar $ P(X > 11) $:
P(X > 11)

Passo 7

Usando uma calculadora ou software que calcule a função acumulada da Poisson, obtemos:
P(X > 11) approx 1 - 0.9998 = 0.0002

Resposta

$ P(X > 11) \approx 0.0002 $

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