A contaminação é um problema na fabricação de discos de armazenamento óptico (CDs). O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas é de 4 na área de um disco em estudo. Seja
o número de partículas na área de um disco em estudo. Calcule: (utilize 4 casas decimais)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema que fala sobre contaminação em discos de armazenamento óptico, tipo CDs. A quantidade de partículas de contaminação segue uma distribuição de Poisson, que é usada para contar eventos que acontecem de forma aleatória num certo intervalo. No caso, a média de partículas é 4 por disco. A gente precisa calcular a probabilidade de ter mais de 11 partículas num disco, ou seja, $ P(X > 11) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da função de massa de probabilidade da Poisson é:
onde:
- $ \lambda $ é a média de ocorrências,
- $ k $ é o número de ocorrências desejado,
- $ e $ é a base do logaritmo natural.
Passo 3
No nosso caso, $ \lambda = 4 $ e queremos encontrar $ P(X > 11) $. Isso significa que queremos a soma das probabilidades de $ X $ ser 12, 13, 14, e assim por diante até o infinito. Mas calcular isso diretamente é complicado, então vamos usar a propriedade complementar da probabilidade:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X \leq 11) $, que é a soma das probabilidades de $ X $ ser de 0 até 11:
Isso significa que precisamos somar as probabilidades para cada $ k $ de 0 a 11 usando a fórmula da Poisson.
Passo 5
Vamos calcular cada termo da soma:
Calculando cada termo individualmente e somando todos, obtemos o valor de $ P(X \leq 11) $.
Passo 6
Depois de calcular a soma, usamos a propriedade complementar para encontrar $ P(X > 11) $:
Passo 7
Usando uma calculadora ou software que calcule a função acumulada da Poisson, obtemos:
Resposta
$ P(X > 11) \approx 0.0002 $