A contaminação é um problema na fabricação de discos de armazenamento óptico (CDs). O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas é de 4 na área de um disco em estudo. Seja X o número de partículas na área de um disco em estudo. Calcule: (utilize 4 casas decimais)
P(X <= 1) square

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre contaminação em CDs, onde a quantidade de partículas de sujeira segue uma distribuição de Poisson. O número médio de partículas nesse caso é 4. A gente quer calcular a probabilidade de ter no máximo 1 partícula de contaminação em um disco, ou seja, P(X <= 1).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos são raros e independentes. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • lambda é a média de ocorrências (neste caso, 4 partículas),
  • k é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade,
  • e é a constante de Euler (aproximadamente 2.71828).

Passo 3

Vamos primeiro calcular a probabilidade de ter exatamente 0 partículas ( P(X = 0)):
P(X = 0) = 4^0 e^-40! = 1 cdot e^-41 = e^-4
Calculando isso:
e^-4 approx 0.0183

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 1 partícula ( P(X = 1)):
P(X = 1) = 4^1 e^-41! = 4 cdot e^-41 = 4e^-4
Calculando isso:
4e^-4 approx 4 cdot 0.0183 approx 0.0733

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de ter no máximo 1 partícula, a gente soma as duas probabilidades que calculamos:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^-4 + 4e^-4 = 5e^-4
Calculando isso:
5e^-4 approx 5 cdot 0.0183 approx 0.0916

Resposta

A probabilidade de ter no máximo 1 partícula de contaminação no disco é aproximadamente 0,0916.

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