Contexto: Uma construtora registrou os tempos de afastamento (dias) por acidente em 2024:
15, 8, 30, 12, 8, 45, 8, 20, 60, 10
Calcule:
a) Média de dias de afastamento
b) Mediana
c) Moda
d) Qual medida melhor representa a situação?
15, 8, 30, 12, 8, 45, 8, 20, 60, 10
a) Média de dias de afastamento
b) Mediana
c) Moda
d) Qual medida melhor representa a situação?
Passo 1
O enunciado dá os tempos de afastamento (dias) por acidente em 2024 registrados pela construtora e pede quatro coisas: média, mediana, moda e qual medida melhor representa a situação. Os dados fornecidos são
.
Listei aqui todas as observações e que o objetivo final é calcular:
a) média aritmética dos dias;
b) mediana dos dias;
c) moda dos dias;
d) decidir qual medida (média, mediana ou moda) representa melhor a “situação típica” dos afastamentos.
Listei aqui todas as observações e que o objetivo final é calcular:
a) média aritmética dos dias;
b) mediana dos dias;
c) moda dos dias;
d) decidir qual medida (média, mediana ou moda) representa melhor a “situação típica” dos afastamentos.
Passo 2
Vamos calcular a média aritmética passo a passo. A média aritmética de uma amostra é dada por
onde
é a média,
é o número de observações e
são as observações individuais. Aqui
. Primeiro somamos todas as observações:
Somando em partes para não errar:
Então a soma é
. Agora aplicamos a fórmula:
Interpretação rápida: a média dá o valor “médio” dos dias de afastamento considerando todas as observações igualmente.
Passo 3
Agora a mediana. A mediana é o valor que separa a metade superior da metade inferior dos dados. Para encontrar a mediana primeiro ordenamos os dados em ordem crescente. Ordenando os dados dados vimos na Passo 1, obtemos:
Como
é par, a mediana é a média dos elementos nas posições
e
, ou seja a média do
e do
elementos da lista ordenada. O
elemento é
e o
elemento é
. Portanto
Interpretação: metade dos registros tem dias de afastamento menores ou iguais a
dias e metade tem maiores ou iguais a
dias.
Passo 4
Agora a moda. A moda é o valor que aparece com maior frequência na lista. Contando as repetições na sequência original (ou na ordenada) vemos que
aparece três vezes, enquanto todos os outros valores aparecem apenas uma vez. Logo
Significado: o valor mais comum de dias de afastamento foi
dias.
Passo 5
Qual medida melhor representa a situação? Vou explicar a ideia e demonstrar com um exemplo rápido com esses mesmos dados. Conceitos importantes:
- A média usa todos os valores e é sensível a valores extremos (outliers). Um único valor muito grande puxa a média para cima.
- A mediana depende só da posição central e é robusta a outliers.
- A moda mostra o valor mais frequente, útil quando queremos o “valor mais comum”, mas pode não refletir a magnitude típica se houver muitos valores diferentes.
Olhe para os dados ordenados:
Temos alguns valores bem altos (
e
) que são muito maiores que a maioria dos outros. Esses valores elevam a média: de fato a média calculada foi
, que é maior que a maioria das observações (7 de 10 observações são menores que
). Isso indica que a média foi puxada para a direita pela presença dos valores grandes.
Para ver a sensibilidade na prática, removo só o maior outlier (
) e recalculo a média e a mediana (apenas como experimento ilustrativo):
- Soma sem
: . Número de observações passa a . A nova média é
Ou seja, a média caiu de
para aproximadamente
— uma mudança relativamente grande causada por um único valor.
- A mediana com
removido (dados ordenados sem o ):
a mediana é o
elemento (pois
), que é
. A mediana mudou de
para
, uma mudança bem menor do que a da média.
Conclusão lógica: como há valores extremos (pelo menos
e
) que desviam para a direita, a mediana é mais representativa do “dias típicos” de afastamento na amostra, pois não é tão afetada por esses poucos casos graves. A moda (
) informa que o valor mais frequente é baixo, mas não captura a magnitude central quando queremos um resumo típico em presença de dispersão e outliers. Portanto, a mediana é a melhor medida para representar a situação típica aqui.
Resposta
a)
b)
c)
d) Mediana
b)
c)
d) Mediana