Calcule a partir da distribuição normal padronizada, as seguintes probabilidades:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a probabilidade
onde
é a variável aleatória com distribuição normal padronizada (ou seja, média
e desvio padrão
).
Informações relevantes dadas: o intervalo de interesse é até
e a distribuição é a normal padronizada.
Informações relevantes dadas: o intervalo de interesse é
Passo 2
Primeiro, uma observação importante sobre distribuições contínuas (como a normal): a probabilidade de um ponto isolado é zero. Portanto a desigualdade aberta à esquerda ou fechada à direita não altera o valor:
Isso facilita porque podemos trabalhar com funções de distribuição acumulada sem nos preocupar com incluír/excluir os pontos extremos.
Passo 3
Defina a função distribuição acumulada (CDF) padrão:
Usando essa notação, a probabilidade pedida se escreve como diferença de duas CDFs:
Passo 4
Agora usamos a simetria da distribuição normal padronizada. A curva é simétrica em torno de
, o que implica que, para qualquer
,
Explicação curta e intuitiva:
é a mesma área que
por simetria, e
. Aplicando isso com
obtemos
Substituindo na expressão do Passo 3:
Passo 5
Agora precisamos do valor numérico de
. Olhando numa tabela da normal padrão (CDF acumulada à esquerda) ou usando uma calculadora estatística, encontra-se o valor aproximado
(Substituição direta: muitas tabelas padrão dão
.)
Passo 6
Substituindo esse valor na fórmula do Passo 4:
Arredondando de forma usual, a probabilidade é
, ou seja
.
Passo 7
Comentário prático curto: esse resultado é o motivo pelo qual o valor crítico
aparece em intervalos de confiança de
na estatística — porque a área central entre
e
é aproximadamente
.