Calcule a partir da distribuição normal padronizada, as seguintes probabilidades:
P(-1,96<Z \leq 1,96)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a probabilidade
P(-1,96 < Z \leq 1,96)
onde Z é a variável aleatória com distribuição normal padronizada (ou seja, média 0 e desvio padrão 1).
Informações relevantes dadas: o intervalo de interesse é -1,96 até 1,96 e a distribuição é a normal padronizada.

Passo 2

Primeiro, uma observação importante sobre distribuições contínuas (como a normal): a probabilidade de um ponto isolado é zero. Portanto a desigualdade aberta à esquerda ou fechada à direita não altera o valor:
P(-1,96 < Z \leq 1,96) = P(-1,96 \leq Z \leq 1,96).
Isso facilita porque podemos trabalhar com funções de distribuição acumulada sem nos preocupar com incluír/excluir os pontos extremos.

Passo 3

Defina a função distribuição acumulada (CDF) padrão:
\Phi(a) = P(Z \leq a).
Usando essa notação, a probabilidade pedida se escreve como diferença de duas CDFs:
P(-1,96 < Z \leq 1,96) = \Phi(1,96) - \Phi(-1,96).

Passo 4

Agora usamos a simetria da distribuição normal padronizada. A curva é simétrica em torno de 0, o que implica que, para qualquer a>0,
\Phi(-a) = 1 - \Phi(a).
Explicação curta e intuitiva: P(Z \leq -a) é a mesma área que P(Z \geq a) por simetria, e P(Z \geq a)=1-P(Z \leq a). Aplicando isso com a=1,96 obtemos
\Phi(-1,96) = 1 - \Phi(1,96).
Substituindo na expressão do Passo 3:
P(-1,96 < Z \leq 1,96) = \Phi(1,96) - \bigl(1 - \Phi(1,96)\bigr) = 2\Phi(1,96) - 1.

Passo 5

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(1,96). Olhando numa tabela da normal padrão (CDF acumulada à esquerda) ou usando uma calculadora estatística, encontra-se o valor aproximado
\Phi(1,96) \approx 0,9750.
(Substituição direta: muitas tabelas padrão dão \Phi(1,96)=0,9750.)

Passo 6

Substituindo esse valor na fórmula do Passo 4:
P(-1,96 < Z \leq 1,96) = 2\cdot 0,9750 - 1 = 1,9500 - 1 = 0,9500.
Arredondando de forma usual, a probabilidade é 0,95, ou seja 95\%.

Passo 7

Comentário prático curto: esse resultado é o motivo pelo qual o valor crítico \pm 1,96 aparece em intervalos de confiança de 95\% na estatística — porque a área central entre -1,96 e 1,96 é aproximadamente 95\%.

Resposta

0,95

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