- A quantidade de sabão em pó contida em um certo tipo de embalagem tem peso distribuído normalmente, com média de 995g e desvio padrão de 10 g . Uma embalagem é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976g.
(a) Qual é a porcentagem de embalagens rejeitadas no comércio? R:
(b) Se observamos uma sequência aleatória destas embalagens em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que, em 20 embalagens observadas, três sejam rejeitadas? R: 0,01643
(a) Qual é a porcentagem de embalagens rejeitadas no comércio? R:
(b) Se observamos uma sequência aleatória destas embalagens em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que, em 20 embalagens observadas, três sejam rejeitadas? R: 0,01643
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Dados fornecidos: a quantidade de sabão em pó por embalagem tem distribuição normal com média
g e desvio padrão g. - Critério de rejeição no comércio: uma embalagem é rejeitada se tiver peso menor que
g. - Perguntas:
(a) Qual é a porcentagem de embalagens rejeitadas no comércio?
(b) Se observamosembalagens independentes, qual é a probabilidade de que exatamente sejam rejeitadas?
Passo 2
Entendendo o que precisamos usar (explicação didática):
- Quando uma variável aleatória
é normalmente distribuída com média e variância , escrevemos . No nosso caso e . - Para calcular probabilidades do tipo
usamos a padronização para a distribuição Normal padrão. A padronização é a fórmula
onde
é uma variável com distribuição Normal padrão (média
e desvio padrão
).
- Essa padronização transforma um problema com média e desvio dados em um problema com a tabela (ou função) da Normal padrão, cujo símbolo de função acumulada é
. - Observação prática: tabelas/coladores de Normal geralmente dão
para . Pela simetria da Normal temos .
Passo 3
Aplicando a padronização para a parte (a):
- Queremos
. Padronizando,
- Calcule o valor de
:
- Portanto precisamos de
. Usando a simetria,
- Consultando uma tabela da Normal padrão (ou uma calculadora estatística),
. Logo
- Interpretação: a proporção (fração) de embalagens com peso menor que
g é aproximadamente . Se quiser em porcentagem multiplica por : .
Passo 4
Explicando o raciocínio para a parte (b) — modelo probabilístico:
- Cada embalagem, ao ser classificada como “rejeitada” (peso <
g) ou “aceita” (peso g), pode ser vista como um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso (rejeitada) . - Assumindo independência entre embalagens (o enunciado diz sequência aleatória), o número
de rejeitadas em observações segue a distribuição binomial:
- A fórmula da probabilidade de observar exatamente
rejeitadas é
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais
das
serão rejeitadas).
Passo 5
Aplicando a fórmula binomial com os números do problema:
- Já calculamos
na parte (a). Para maior precisão vou usar (valor mais exato de ). - Temos
e queremos . Primeiro calcule o coeficiente:
Passo 6
Cálculo numérico detalhado (sem pular etapas):
- Calcule
:
- Calcule
. Primeiro . Usando potências (ou logaritmos para facilitar a conta),
- Agora multiplique tudo na fórmula binomial:
- Faça as multiplicações passo a passo:
Passo 7
Interpretação final e incentivo:
- Então, usando a Normal para encontrar a probabilidade de rejeição por embalagem e a Binomial para o número de rejeitadas em
observações, encontramos os valores pedidos. - Você já fez o mais difícil: entender qual modelo usar e como conectar a Normal com a Binomial. Mandou bem! Se estiver nervoso para a prova, treine mais umas questões parecidas (padronização + binomial) e vai ficar mais confortável.
Resposta
(a)
(b)