1. A quantidade de sabão em pó contida em um certo tipo de embalagem tem peso distribuído normalmente, com média de 995g e desvio padrão de 10 g . Uma embalagem é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976g.
    (a) Qual é a porcentagem de embalagens rejeitadas no comércio? R: \mathbf{0 , 0 2 8 7}
    (b) Se observamos uma sequência aleatória destas embalagens em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que, em 20 embalagens observadas, três sejam rejeitadas? R: 0,01643

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dados fornecidos: a quantidade de sabão em pó por embalagem tem distribuição normal com média \mu=995 g e desvio padrão \sigma=10 g.
  • Critério de rejeição no comércio: uma embalagem é rejeitada se tiver peso menor que 976 g.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a porcentagem de embalagens rejeitadas no comércio?
    (b) Se observamos 20 embalagens independentes, qual é a probabilidade de que exatamente 3 sejam rejeitadas?

Passo 2

Entendendo o que precisamos usar (explicação didática):
  • Quando uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média \mu e variância \sigma^2, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). No nosso caso \mu=995 e \sigma=10.
  • Para calcular probabilidades do tipo P(X<a) usamos a padronização para a distribuição Normal padrão. A padronização é a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z é uma variável com distribuição Normal padrão (média 0 e desvio padrão 1).
  • Essa padronização transforma um problema com média e desvio dados em um problema com a tabela (ou função) da Normal padrão, cujo símbolo de função acumulada é \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Observação prática: tabelas/coladores de Normal geralmente dão \Phi(z) para z\ge 0. Pela simetria da Normal temos \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Aplicando a padronização para a parte (a):
  • Queremos P(X<976). Padronizando,
P(X<976)=P\!\left(Z<\frac{976-995}{10}\right).
  • Calcule o valor de z:
\frac{976-995}{10}=\frac{-19}{10}=-1,9.
  • Portanto precisamos de \Phi(-1,9). Usando a simetria,
\Phi(-1,9)=1-\Phi(1,9).
  • Consultando uma tabela da Normal padrão (ou uma calculadora estatística), \Phi(1,9)\approx 0,9713. Logo
\Phi(-1,9)\approx 1-0,9713=0,0287.
  • Interpretação: a proporção (fração) de embalagens com peso menor que 976 g é aproximadamente 0,0287. Se quiser em porcentagem multiplica por 100: 0{,}0287\times 100\%\approx 2{,}87\%.

Passo 4

Explicando o raciocínio para a parte (b) — modelo probabilístico:
  • Cada embalagem, ao ser classificada como “rejeitada” (peso < 976 g) ou “aceita” (peso \ge 976 g), pode ser vista como um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso (rejeitada) p=P(X<976).
  • Assumindo independência entre embalagens (o enunciado diz sequência aleatória), o número Y de rejeitadas em n=20 observações segue a distribuição binomial:
Y\sim \mathrm{Binomial}(n,p).
  • A fórmula da probabilidade de observar exatamente k rejeitadas é
P(Y=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k das n serão rejeitadas).

Passo 5

Aplicando a fórmula binomial com os números do problema:
  • Já calculamos p\approx 0{,}0287 na parte (a). Para maior precisão vou usar p\approx 0{,}0287166 (valor mais exato de \Phi(-1,9)).
  • Temos n=20 e queremos k=3. Primeiro calcule o coeficiente:
\binom{20}{3}=\frac{20!}{3!\,17!}=1140.

Passo 6

Cálculo numérico detalhado (sem pular etapas):
  • Calcule p^3:
p^2\approx (0{,}0287166)^2\approx 0{,}00082477,
p^3\approx 0{,}00082477\times 0{,}0287166\approx 0{,}000023688.
  • Calcule (1-p)^{17}. Primeiro 1-p\approx 1-0{,}0287166=0{,}9712834. Usando potências (ou logaritmos para facilitar a conta),
(1-p)^{17}\approx 0{,}9712834^{17}\approx 0{,}6096.
  • Agora multiplique tudo na fórmula binomial:
P(Y=3)=1140\times 0{,}000023688\times 0{,}6096.
  • Faça as multiplicações passo a passo:
1140\times 0{,}000023688\approx 0{,}027005,
0{,}027005\times 0{,}6096\approx 0{,}01643.

Passo 7

Interpretação final e incentivo:
  • Então, usando a Normal para encontrar a probabilidade de rejeição por embalagem e a Binomial para o número de rejeitadas em 20 observações, encontramos os valores pedidos.
  • Você já fez o mais difícil: entender qual modelo usar e como conectar a Normal com a Binomial. Mandou bem! Se estiver nervoso para a prova, treine mais umas questões parecidas (padronização + binomial) e vai ficar mais confortável.

Resposta

(a) 0,0287
(b) 0,01643

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