A pergunta é: “É contínua a função f?” e pede justificativa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para todo y\neq 0 vale f(y)=y^{2}.
Em y=0 o valor da função é f(0)=7.
O que precisamos responder: verificar a continuidade de f em todos os pontos do domínio (ou seja, para y\neq0 e para y=0), e justificar por quê em cada caso.]
Passo 2
Lembrete (definição de continuidade num ponto), explicado devagar:
Uma função f é contínua em um ponto a se e só se existir o limite \lim_{y\to a} f(y) e esse limite for igual ao valor da função no ponto, isto é,
\lim_{y\to a} f(y)=f(a).
Significado dos termos:
\lim_{y\to a} f(y) é o valor para o qual f(y) se aproxima quando y se aproxima de a (independente do valor de f exatamente em a).
f(a) é o valor definido da função no ponto a.
Para responder à pergunta sobre f precisamos:
calcular \lim_{y\to 0} f(y) e comparar com f(0)=7;
verificar \lim_{y\to y_0} f(y) e comparar com f(y_0) para um ponto genérico y_0\neq 0.
Passo 3
Continuidade em pontos y_0\neq 0.
Aqui, em qualquer ponto y_0\neq 0 a função coincide com y^{2} numa vizinhança de y_0 (pois a definição por partes só muda o valor exatamente em 0). Vamos mostrar que \lim_{y\to y_0} y^{2}=y_0^{2}, o que implica continuidade porque f(y_0)=y_0^{2}.
Prova (argumento do tipo ε–δ para y_0\neq 0, passo a passo):
Queremos: dado \varepsilon>0, encontrar \delta>0 tal que sempre que |y-y_0|<\delta então |y^{2}-y_0^{2}|<\varepsilon.
Observação algébrica útil:
|y^{2}-y_0^{2}|=|y-y_0|\cdot|y+y_0|.
Para controlar o fator |y+y_0| vamos restringir \delta para que y fique perto de y_0. Escolha, por exemplo,
\delta_1=\frac{|y_0|}{2}.
Se |y-y_0|<\delta_1 então |y|-|y_0|\le|y-y_0|<\delta_1=\tfrac{|y_0|}{2}, daí |y|>\tfrac{|y_0|}{2}. Assim
temos que sempre que |y-y_0|<\delta vale |y^{2}-y_0^{2}|<\varepsilon. Isso mostra que \lim_{y\to y_0} y^{2}=y_0^{2}. Como f(y_0)=y_0^{2}, concluímos que f é contínua em todo y_0\neq 0.
(Comentário intuitivo: polinômios como y^{2} são contínuos — a prova acima é apenas uma forma ε–δ explícita que dá segurança para a prova na prova.)
Passo 4
Comportamento em y=0: cálculo do limite \lim_{y\to 0} f(y).
Para y próximo de 0 (mas distinto de 0) a função vale f(y)=y^{2}. Assim
\lim_{y\to 0} f(y)=\lim_{y\to 0} y^{2}.
Mostramos agora que \lim_{y\to 0} y^{2}=0 de forma direta (ε–δ simples):
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{\varepsilon}. Então, se |y-0|=|y|<\delta temos
|y^{2}-0|=|y|^{2}<\delta^{2}=\varepsilon.
Logo \lim_{y\to 0} y^{2}=0. Portanto
\lim_{y\to 0} f(y)=0.
Passo 5
Comparação do limite com o valor da função em 0.
Pelo enunciado, f(0)=7. Mas do passo anterior temos \lim_{y\to 0} f(y)=0. Como
0 \neq 7,
o limite quando y\to 0 não coincide com o valor da função em 0. Pela definição de continuidade, isso significa que f NÃO é contínua em y=0.
Passo 6
Conclusão final e interpretação didática rápida:
Para qualquer y_0\neq 0, \lim_{y\to y_0} f(y)=y_0^{2}=f(y_0), logo f é contínua em todos os pontos y\neq 0.
Em y=0, \lim_{y\to 0} f(y)=0 mas f(0)=7, portanto f é descontínua em 0.
Em palavras amigas: a função age como y^{2} na vizinhança de qualquer ponto que não seja zero (então lá ela se comporta bem), mas no ponto zero alguém trocou o valor por 7 — isso provoca um “desgarramento” entre o valor esperado 0 e o valor real 7, causando descontinuidade.
Resposta
Não. É contínua para todo y\neq 0 e descontínua em y=0.