1. A função f dada por
f(x)= \begin{cases}\frac{|x-3|}{x-3} & \text { se } x \neq 3 \\\\ 1 & \text { se } x=3\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função definida por partes:
f(x)= \begin{cases}\dfrac{|x-3|}{x-3} & \text{se } x \neq 3, \\[6pt] 1 & \text{se } x=3.\end{cases}
O que geralmente se pede para uma questão assim (vou listar as perguntas que vamos responder):
  • Qual é a expressão de f(x) para x>3 e para x<3 (simplificar a expressão com valor absoluto)?
  • Quais são os limites laterais \lim_{x\to 3^-} f(x) e \lim_{x\to 3^+} f(x) e o limite \lim_{x\to 3} f(x)?
  • A função é contínua em x=3? Se houver descontinuidade, qual o tipo?
  • Onde a função é contínua (em todo lugar exceto onde?)?]

Passo 2

Entendendo o módulo e simplificando a expressão para [x\neq 3).
Primeiro, lembrete sobre valor absoluto: para qualquer real t,
|t|=\begin{cases} t & \text{se } t\ge 0,\\\\ -t & \text{se } t<0.\end{cases}
Aqui temos t=x-3\]. Então: - Se \[x>3, então x-3>0 e |x-3|=x-3. Substituindo na fração,
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1.
  • Se x<3, então x-3<0 e |x-3|=-(x-3)=3-x. Substituindo,
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1.
Portanto, para x\neq 3 a função vale 1 quando x>3 e -1 quando x<3. Escrevendo de forma clara:
f(x)=\begin{cases} -1 & \text{se } x<3,\\\\ 1 & \text{se } x>3,\\\\ 1 & \text{se } x=3. \end{cases}
Observação: para x\neq3\] vimos que \(f(x) só assume os valores -1 ou 1.

Passo 3

Cálculo dos limites laterais em x=3.
Definição rápida (em palavras): \lim_{x\to 3^-} f(x) é o valor que f(x) aproxima quando x se aproxima de 3 vindo da esquerda (valores menores que 3). \lim_{x\to 3^+} f(x) é análogo vindo da direita.
Usando a forma que achamos:
  • Para x<3 próximos de 3, f(x)=-1 exatamente. Logo
\lim_{x\to 3^-} f(x) = -1.
  • Para x>3 próximos de 3, f(x)=1 exatamente. Logo
\lim_{x\to 3^+} f(x) = 1.
Como os limites laterais são diferentes ( -1 e 1), o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 3} f(x)\\ \text{não existe}.ã

Passo 4

Condição de continuidade em x=3 e classificação da descontinuidade.
Lembrete (definição de continuidade num ponto): uma função f é contínua em x=3 se e somente se os três valores coincidem:
\lim_{x\to 3} f(x),\quad f(3),\quad \text{e o comportamento das laterais.}
Mais precisamente, é necessário que \lim_{x\to 3} f(x) exista e seja igual a f(3).
Aqui já vimos que \lim_{x\to3} f(x) não existe porque as laterais são diferentes. Mesmo que f(3)=1, isso não basta. Então f NÃO é contínua em x=3.
Classificação do tipo de descontinuidade: como \lim_{x\to3^-} f(x) e \lim_{x\to3^+} f(x) existem e são finitos, mas são diferentes entre si, essa descontinuidade é uma descontinuidade do tipo salto (descontinuidade de primeira espécie).

Passo 5

Continuidade fora de x=3.
Para x<3 a função é a constante -1 em todo intervalo à esquerda de 3; constantes são contínuas em todos os pontos desses intervalos. Para x>3 a função é a constante 1 em todo intervalo à direita de 3; também contínua. Portanto f é contínua em todo x\neq 3 e somente descontínua em x=3.

Resposta

f(x)= -1 para x<3; f(x)=1 para x>3; f(3)=1.\n \displaystyle \lim_{x\to 3^-}f(x)=-1.\n \displaystyle \lim_{x\to 3^+}f(x)=1.\n \displaystyle \lim_{x\to 3}f(x) não existe.\n f é descontínua em x=3 (descontinuidade do tipo salto) e contínua em todo x\neq 3.

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