Observação: para x\neq3\] vimos que \(f(x) só assume os valores -1 ou 1.
Passo 3
Cálculo dos limites laterais em x=3.
Definição rápida (em palavras): \lim_{x\to 3^-} f(x) é o valor que f(x) aproxima quando x se aproxima de 3 vindo da esquerda (valores menores que 3). \lim_{x\to 3^+} f(x) é análogo vindo da direita.
Usando a forma que achamos:
Para x<3 próximos de 3, f(x)=-1 exatamente. Logo
\lim_{x\to 3^-} f(x) = -1.
Para x>3 próximos de 3, f(x)=1 exatamente. Logo
\lim_{x\to 3^+} f(x) = 1.
Como os limites laterais são diferentes (-1 e 1), o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 3} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Passo 4
Condição de continuidade em x=3 e classificação da descontinuidade.
Lembrete (definição de continuidade num ponto): uma função f é contínua em x=3 se e somente se os três valores coincidem:
\lim_{x\to 3} f(x),\quad f(3),\quad \text{e o comportamento das laterais.}
Mais precisamente, é necessário que \lim_{x\to 3} f(x) exista e seja igual a f(3).
Aqui já vimos que \lim_{x\to3} f(x) não existe porque as laterais são diferentes. Mesmo que f(3)=1, isso não basta. Então f NÃO é contínua em x=3.
Classificação do tipo de descontinuidade: como \lim_{x\to3^-} f(x) e \lim_{x\to3^+} f(x) existem e são finitos, mas são diferentes entre si, essa descontinuidade é uma descontinuidade do tipo salto (descontinuidade de primeira espécie).
Passo 5
Continuidade fora de x=3.
Para x<3 a função é a constante -1 em todo intervalo à esquerda de 3; constantes são contínuas em todos os pontos desses intervalos. Para x>3 a função é a constante 1 em todo intervalo à direita de 3; também contínua. Portanto f é contínua em todo x\neq 3 e somente descontínua em x=3.
Resposta
f(x)= -1 para x<3; f(x)=1 para x>3; f(3)=1.\n\displaystyle \lim_{x\to 3^-}f(x)=-1.\n\displaystyle \lim_{x\to 3^+}f(x)=1.\n\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x) não existe.\nf é descontínua em x=3 (descontinuidade do tipo salto) e contínua em todo x\neq 3.