Continuação do exercício 14 da Aula 8. Um aluno responde a uma questão de múltipla escolha com 4 alternativas, com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questão é de 30 %. Se ele não sabe a resposta, existe a possibilidade de ele acertar no chute. Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por cola. Se o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de ele ter chutado a resposta?

Passo 1

O enunciado diz: “Um aluno responde uma questão de múltipla escolha com 4 alternativas (1 certa). A probabilidade de ele já saber a resposta é 30%. Se ele não souber, ele chuta e escolhe uma das 4 alternativas ao acaso. Não há cola. Dado que ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele ter chutado?”
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos usar:
  • Evento S = “sabe a resposta”; P(S)=0,3.
  • Evento bar S = “não sabe”; P(bar S)=0,7.
  • Se sabe, acerta com certeza: P(,C,|,S)=1.
  • Se não sabe, chuta; chance de acertar no chute: P(,C,|,bar S)=tfrac14.

Passo 2

Calcular a probabilidade de “acertar” (evento C) pela regra da probabilidade total:
P(C) ;=; P(Cmid S),P(S);+;P(Cmidbar S),P(bar S),
Substituindo:
P(C) = 1cdot0,3 + tfrac14cdot0,7 = 0,3 + 0,175 = 0,475

Passo 3

Agora usamos o Teorema de Bayes para achar P(bar Smid C), ou seja, “probabilidade de ter chutado dado que acertou”:
P(bar Smid C) = P(Cmid bar S),P(bar S)P(C) = tfrac14cdot0,70,475,

Passo 4

Basta dividir e, se quiser, transformar em porcentagem:
P(bar Smid C) = 0,1750,475 approx 0,3684 approx 36,84%

Resposta

A probabilidade de ele ter chutado dado que acertou a questão é aproximadamente 36,84%,.

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