Uma urna tem 3 bolas brancas, 3 pretas e 4 azuis. Duas bolas são retiradas ao acaso e substituídas por 5 vermelhas. Depois disso, retira-se uma bola. Qual a probabilidade de ser azul?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma urna com 3 bolas brancas, 3 pretas e 4 azuis (total 10). A gente retira 2 bolas ao acaso (sem repor) e, em seguida, coloca 5 bolas vermelhas. Depois disso, faz mais um sorteio: qual a probabilidade de sair uma bola azul?”
Conteúdo da matéria: probabilidade condicional e distribuição hipergeométrica (porque tiramos sem reposição). Vamos usar também a fórmula da probabilidade total para combinar os cenários de quantas azuis saíram na primeira retirada.

Passo 2

Definimos a variável aleatória P(K=k);=;binom4k,binom62-kbinom102, k=0,1,2 = número de bolas azuis que saíram quando retiramos as 2 primeiras.
  1. Como tiramos sem repor, P(azul na 3ª retiradamid K=k);=;4-k13 segue a distribuição hipergeométrica:
  1. Depois de remover azuis, ainda restam azuis. A urna agora tem bolas, então
ª

Passo 3

Aplicando a fórmula da probabilidade total:
P(azul) ;=;sumk=0^2 P(K=k),4-k13
Calculemos cada P(azul) =13cdot413 +815cdot313 +215cdot213 =1665 :
  • .
Agora a soma:

Resposta

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