Continuação do exercício 4 da Aula 8. O Ministério da Economia da Espanha acredita que a probabilidade de a inflação ficar abaixo de
este ano é de 0,20 ; entre
e
é de 0,45 e acima de
é de 0,35 . O Ministério acredita que, com inflação abaixo de
, a probabilidade de se criarem mais 200.000 empregos é de 0,6 , diminuindo essa probabilidade para 0,3 caso a inflação fique entre
e
; no entanto, com inflação acima de
, isso é totalmente impossível. No ano seguinte, um economista estrangeiro constata que foram criados 200.000 empregos novos. Qual é a probabilidade de a inflação ter ficado abaixo de
?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que a gente precisa usar. A gente tá numa aula de Probabilidade, lá na parte de Teorema de Bayes. O Ministério da Economia da Espanha dá umas probabilidades de inflação em três faixas (< 3 %, entre 3 % e 4 %, > 4 %) e, para cada faixa, a chance de serem criados 200 000 empregos. A gente descobriu que, no fim, criou 200 000 empregos e quer saber: qual a probabilidade de a inflação ter ficado abaixo de 3 %? Para resolver, vamos usar os conceitos de probabilidade condicional e, em especial, o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados do problema com notação mais “formal”:
Definimos três eventos de inflação:
I₁ = “inflação < 3 %”
I₂ = “3 % ≤ inflação ≤ 4 %”
I₃ = “inflação > 4 %”
I₁ = “inflação < 3 %”
I₂ = “3 % ≤ inflação ≤ 4 %”
I₃ = “inflação > 4 %”
E o evento de interesse E = “foram criados 200 000 empregos”.
As probabilidades dadas são:
P(I₁) = 0,20
P(I₂) = 0,45
P(I₃) = 0,35
P(I₁) = 0,20
P(I₂) = 0,45
P(I₃) = 0,35
E as probabilidades condicionais de E dado cada faixa:
P(E | I₁) = 0,6
P(E | I₂) = 0,3
P(E | I₃) = 0
P(E | I₁) = 0,6
P(E | I₂) = 0,3
P(E | I₃) = 0
Passo 3
Agora, vamos lembrar o Teorema de Bayes. Ele diz que
Mas a gente não sabe P(E) ainda. Só que P(E) a gente calcula pela fórmula da probabilidade total:
Passo 4
Vamos achar P(E) substituindo os valores:
P(E) = 0,6·0,20 + 0,3·0,45 + 0·0,35
= 0,12 + 0,135 + 0
= 0,255
= 0,12 + 0,135 + 0
= 0,255
Passo 5
Beleza, agora que já temos P(E) = 0,255, aplicamos Bayes:
Passo 6
Só falta dividir:
Ou seja, perto de 0,47.
Resposta
A probabilidade de a inflação ter ficado abaixo de 3 % é aproximadamente 0,47 (ou 47 %).