(Continuidade) A função abaixo é contínua em x=1 ? Justifique.
f(x)= x^2+1 & se x <= 1 3 x-1 & se x>1

Passo 1

Beleza, vamos ver se a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $. Estamos lidando com continuidade de funções, que basicamente verifica se o gráfico da função não tem “quebras” ou “saltos” naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular o valor da função em $ x = 1 $ e os limites quando $ x $ se aproxima de 1 por ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto $ x = 1 $. Olhando a definição da função:
x = 1
Como $ x = 1 $ está na condição $ x \leq 1 $, substituímos:
f(x) = x^2 + 1 & se x <= 1 3x - 1 & se x > 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $). Nessa região, usamos a primeira parte da função $ x^{2} + 1 $:
f(x)
Isso significa que, vindo da esquerda, a função se aproxima de 2.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \to 1^+ $). Aqui, usamos a segunda parte da função $ 3x - 1 $:
f(x)
Então, vindo da direita, a função também se aproxima de 2.

Passo 5

Agora, comparamos os resultados:
  • $ f(1) = 2 $
  • $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 $
  • $ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 $
Como todos são iguais, não há “quebra” na função em $ x = 1 $.

Resposta

Sim, a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $, pois o valor da função e os limites laterais são iguais a 2.

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