(Continuidade) A função abaixo é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos ver se a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $. Estamos lidando com continuidade de funções, que basicamente verifica se o gráfico da função não tem “quebras” ou “saltos” naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular o valor da função em $ x = 1 $ e os limites quando $ x $ se aproxima de 1 por ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto $ x = 1 $. Olhando a definição da função:
Como $ x = 1 $ está na condição $ x \leq 1 $, substituímos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $). Nessa região, usamos a primeira parte da função $ x^{2} + 1 $:
Isso significa que, vindo da esquerda, a função se aproxima de 2.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \to 1^+ $). Aqui, usamos a segunda parte da função $ 3x - 1 $:
Então, vindo da direita, a função também se aproxima de 2.
Passo 5
Agora, comparamos os resultados:
- $ f(1) = 2 $
- $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 $
- $ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 $
Como todos são iguais, não há “quebra” na função em $ x = 1 $.
Resposta
Sim, a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $, pois o valor da função e os limites laterais são iguais a 2.