Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs a seguir:
para
Passo 1
O enunciado pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver o PVI
com
e
. Vamos precisar da definição de transformada de Laplace de derivadas e da propriedade de deslocamento para funções escalonadas.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
. Usando
e
, obtemos
ou seja
Passo 3
Como
, temos
. Logo
Passo 4
Fazendo frações parciais em
: buscamos constantes
tais que
Passo 5
Igualando numeradores:
Passo 6
Comparando coeficientes:
. Logo
. Assim
Passo 7
Invertemos cada termo:
Passo 8
Então a parte sem deslocamento é
Passo 9
A parte com
gera um escalonamento:
Passo 10
Como no
esse termo vem com sinal negativo, a solução completa é
Passo 11
Podemos reescrever
usando identidades trigonométricas. Portanto a solução final em forma de duas partes é