Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs a seguir:
y^prime prime+y=f(x), y(0)=0, y^prime(0)=1, f(x)=1-upi(x) para x>0

Passo 1

O enunciado pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver o PVI y''+y=f(x), com y(0)=0, y'(0)=1 e f(x)=1 - upi(x). Vamos precisar da definição de transformada de Laplace de derivadas e da propriedade de deslocamento para funções escalonadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de y''+y=f(x). Usando Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0) e Ly=Y(s), obtemos
(s^2Y(s)-scdot0 -1) + Y(s) = F(s)
ou seja
(s^2 + 1)Y(s) - 1 = F(s)

Passo 3

Como f(x)=1 - upi(x), temos F(s)=1s - e^-pi ss. Logo
Y(s) = F(s)+1s^2+1 = 1/s - e^-pi s/s + 1s^2+1 = 1+ss(s^2+1) - e^-pi ss(s^2+1)

Passo 4

Fazendo frações parciais em dfrac1+ss(s^2+1): buscamos constantes A,B,C tais que
1+ss(s^2+1) = As + B s + Cs^2+1

Passo 5

Igualando numeradores:
1+s = A(s^2+1) + (B s + C)s = (A+B)s^2 + C s + A

Passo 6

Comparando coeficientes: A+B=0, C=1, A=1. Logo A=1, B=-1, C=1. Assim
1+ss(s^2+1) = 1s - ss^2+1 + 1s^2+1

Passo 7

Invertemos cada termo:
L^-11s=1, L^-1ss^2+1=cos x, L^-11s^2+1=sin x

Passo 8

Então a parte sem deslocamento é
y1(x)=1 - cos x + sin x

Passo 9

A parte com e^-pi s gera um escalonamento:
y2(x)=upi(x)l(1 - cos(x-pi) + sin(x-pi)r)

Passo 10

Como no Y(s) esse termo vem com sinal negativo, a solução completa é
y(x)=y1(x) - y2(x)

Passo 11

Podemos reescrever 1 - cos(x-pi)+sin(x-pi)=1+cos x -sin x usando identidades trigonométricas. Portanto a solução final em forma de duas partes é
1 - cos x + sin x, & 0pi

Resposta

y(x)=1 - cos x + sin x, & 0pi

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