Calcule a integral de linha integralgamma raiz[3]x d x+d y1+y^2, onde gamma é a fronteira do quadrado de vértices (-1,1),(1,1),(-1,1) e (-1,-1), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma raiz[3]x , dx + dy1+y^2, onde gamma é a fronteira de um quadrado com vértices em (-1,1), (1,1), (1,-1) e (-1,-1), orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral. Temos P(x,y) = raiz[3]x e Q(x,y) = 11+y^2. O Teorema de Green diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
onde D é a região dentro da curva gamma.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • partial Qpartial x: Como Q = 11+y^2 não depende de x, essa derivada é 0.
partial Qpartial x = 0
  • partial Ppartial y: Como P = raiz[3]x não depende de y, essa derivada também é 0.
partial Ppartial y = 0

Passo 4

Substituindo as derivadas no Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 0 - 0 ) , dx , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Isso significa que a integral de linha ao redor da fronteira gamma é igual a zero.

Resposta

A integral de linha integralgamma raiz[3]x , dx + dy1+y^2 é igual a 0.

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