Calcule a integral de linha
, onde
é a fronteira do quadrado de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
, orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral. Temos
e
. O Teorema de Green diz que:
onde
é a região dentro da curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
: Como não depende de , essa derivada é 0.
-
: Como não depende de , essa derivada também é 0.
Passo 4
Substituindo as derivadas no Teorema de Green, temos:
Isso significa que a integral de linha ao redor da fronteira
é igual a zero.
Resposta
A integral de linha
é igual a 0.