Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 20 dias, obtendo-se os resultados abaixo:
3 11 8 12 14 13 15 14 14 19
6 20 14 23 29 12 25 5 8 8
a) Construa uma apresentação de ramos e folhas para os dados.
b) Faça um histograma considerando seis classes e começando no menor valor do conjunto de dados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) construir uma apresentação de ramos e folhas para os dados;
  • (b) construir um histograma com exatamente seis classes, começando no menor valor do conjunto.
Os dados fornecidos (contagem de erros em 20 dias) são:
3,\;11,\;8,\;12,\;14,\;13,\;15,\;14,\;14,\;19,\;6,\;20,\;14,\;23,\;29,\;12,\;25,\;5,\;8,\;8.
Informações relevantes extraídas dos dados:
  • Número total de observações: n=20.
  • Menor valor: \min=3.
  • Maior valor: \max=29.
  • Alcance (range): R=\max-\min=29-3=26.

Passo 2

Ordenar os dados facilita construir ramos/folhas e contar frequências. Ordenando de forma crescente obtemos:
3,\;5,\;6,\;8,\;8,\;8,\;11,\;12,\;12,\;13,\;14,\;14,\;14,\;14,\;15,\;19,\;20,\;23,\;25,\;29.
Verifiquei que há 20 números (confere com n=20).

Passo 3

Explicando o que é um diagrama de ramos e folhas (ramos e folhas), passo a passo:
  • Escolhemos como “ramo” (stem) a parte das dezenas e como “folha” (leaf) a unidade. Ex.: para 14, ramo =1 (dezena), folha =4.
  • Mantemos as folhas em ordem crescente à direita do respectivo ramo.
  • Cada folha representa um único dado; portanto facilita ver a distribuição e recuperar valores originais.
Com isso, construo os ramos (dezena) 0,\;1,\;2 e coloco as folhas correspondentes (usei os dados ordenados acima para inserir as folhas em ordem):
Ramo 0 (valores entre 0 e 9):
0\;|\;3\;5\;6\;8\;8\;8
Ramo 1 (valores entre 10 e 19):
1\;|\;1\;2\;2\;3\;4\;4\;4\;4\;5\;9
Ramo 2 (valores entre 20 e 29):
2\;|\;0\;3\;5\;9
Observações didáticas:
  • Cada folha é uma unidade; por exemplo, no ramo 1 a sequência 1,2,2,3,4,4,4,4,5,9 corresponde a 11,12,12,13,14,14,14,14,15,19.
  • Esse gráfico mantém os dados originais visíveis e mostra rapidamente a concentração (por exemplo há várias 14s).

Passo 4

Algumas interpretações rápidas do ramo e folha (úteis na prova):
  • Frequência por ramo: ramo 0 tem 6 observações, ramo 1 tem 10, ramo 2 tem 4 (confere 6+10+4=20).
  • Moda aparente: das folhas vê-se que 14 aparece 4 vezes — é o valor mais frequente.
  • Mediana (cheia de sentido com o diagrama): para n=20 a mediana é a média das posições 10 e 11 na ordenação; as posições 10 e 11 são 13 e 14, logo mediana =(13+14)/2=13{,}5.

Passo 5

Agora o histograma com seis classes começando no menor valor. Procedimento explicado:
  • Temos k=6 classes e alcance R=26.
  • Uma escolha prática e comum para a largura de classe h é usar h=\lceil R/k\rceil (arredondar para cima para cobrir todo o intervalo com classes de largura inteira). Então
h=\lceil 26/6\rceil=\lceil 4{,}333\ldots\rceil=5.
  • Vou tomar classes de largura h=5, começando em \min=3. Adoto a convenção de intervalos semi-abertos [a,b) (incluir a borda esquerda, excluir a borda direita) exceto a última classe que inclui o máximo.
As classes ficam assim (cada classe tem largura 5):
[3,8),\;[8,13),\;[13,18),\;[18,23),\;[23,28),\;[28,33).

Passo 6

Contagem das observações em cada classe (faço a atribuição explicitando os valores que caem em cada classe, usando a lista ordenada do Passo 2):
  • Classe [3,8): contém 3,\;5,\;6. (Os 8s não entram porque a borda direita é excluída.) Frequência f_1=3.
  • Classe [8,13): contém 8,\;8,\;8,\;11,\;12,\;12. Frequência f_2=6.
  • Classe [13,18): contém 13,\;14,\;14,\;14,\;14,\;15. Frequência f_3=6.
  • Classe [18,23): contém 19,\;20. Frequência f_4=2.
  • Classe [23,28): contém 23,\;25. Frequência f_5=2.
  • Classe [28,33): contém 29. Frequência f_6=1.
Verificação de consistência: 3+6+6+2+2+1=20 (confere com n=20).

Passo 7

Como desenhar o histograma (instruções para a prova):
  • No eixo horizontal colocar os intervalos de classe [3,8),[8,13),\dots.
  • No eixo vertical colocar a frequência absoluta (alturas das barras iguais a f_i).
  • Cada barra é contínua (sem espaços) e tem largura 5. Por exemplo, a barra sobre [8,13) tem altura 6.
  • Se quiser barras com densidade (frequência por unidade de classe), dividir f_i por h (não exigido aqui, basta usar frequências).

Resposta

Ramos e folhas:
0\;|\;3\;5\;6\;8\;8\;8
1\;|\;1\;2\;2\;3\;4\;4\;4\;4\;5\;9
2\;|\;0\;3\;5\;9
Histograma (6 classes de largura 5, começando em 3):
[3,8): f=3
[8,13): f=6
[13,18): f=6
[18,23): f=2
[23,28): f=2
[28,33): f=1

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