Segundo um laboratório, os índices de glicose ( em mg por decilitro) de vinte pacientes no início da coletagem de um certo dia foram:
, 80, 86, 74, 90, 69, 89, 74 e 115.
(a) Encontre a média e a variância destes índices.
(b) Encontre a média e a variância destes índices, supondo que houve um erro de medição de
para menos em todos os pacientes.
(a) Encontre a média e a variância destes índices.
(b) Encontre a média e a variância destes índices, supondo que houve um erro de medição de
Passo 1
O enunciado dá os índices de glicose (em mg/dL) de vinte pacientes e pede duas coisas:
(a) calcular a média e a variância desses vinte valores;
(b) recalcular média e variância supondo que todos os valores sofreram um erro de medição de para menos (ou seja, os valores verdadeiros são os dados acrescidos de
).
(a) calcular a média e a variância desses vinte valores;
(b) recalcular média e variância supondo que todos os valores sofreram um erro de medição de
Lista dos dados (pegos do enunciado):
Número de observações:
.
Passo 2
Definição e cálculo da média (passo-a-passo didático).
- Definição: a média aritmética
de valores é
Aqui
é o valor típico (centro) dos dados,
são as observações e
é a quantidade de observações.
- Vamos calcular a soma das observações para aplicar a fórmula. Somando os valores fornecidos:
- Então a média é
Explicação curta: a média é só a soma dividida pelo número de pacientes; aqui deu
.
Passo 3
Definição e fórmula prática da variância (explicação didática).
- Definição (variância populacional): a variância mede a dispersão em torno da média. Para
valores a variância populacional é
Aqui
tem unidade
. Cada termo
é o quadrado do desvio do
-ésimo valor em relação à média.
- Fórmula computacional mais prática (mesma quantidade) que evita calcular muitos quadrados de diferenças:
Prova rápida (expansão):
, pois
.
Passo 4
Cálculo prático da variância usando a fórmula
.
- Primeiro, calculei a soma dos quadrados dos dados (peguei cada
do enunciado e somei ):
- Então
- Já
- Portanto a variância é
Interpretação: a variância numérica é
em unidades quadradas; o desvio padrão seria
se fosse necessário.
Passo 5
Parte (b): efeito de um erro sistemático de
para menos em todas as medições — ensino da propriedade e aplicação.
- Se os valores medidos foram
e houve erro de para menos, os valores verdadeiros são para todo .
Propriedades importantes (e fáceis de provar):
- A média se desloca da mesma maneira:
. Prova: . - A variância não muda ao somar uma constante a todos os dados:
. Prova: .
- Aplicando: como
, a média corrigida é
- E a variância permanece
Passo 6
Resumo final e motivação prática (um empurrãozinho): a média subiu exatamente
porque cada observação subiu
; a variância não muda porque a dispersão relativa entre os pacientes continua a mesma. Isso é uma arma secreta rápida para a prova: deslocamentos (adição de constante) mudam média, mas não a variância.
Resposta
(a)
;
(b) ;
(b)