Segundo um laboratório, os índices de glicose ( em mg por decilitro) de vinte pacientes no início da coletagem de um certo dia foram: 77,75,82,76,69,71,80,66,85,77,72,100, 80, 86, 74, 90, 69, 89, 74 e 115.
(a) Encontre a média e a variância destes índices.
(b) Encontre a média e a variância destes índices, supondo que houve um erro de medição de 10 \mathrm{mg} / \mathrm{dL} para menos em todos os pacientes.

Passo 1

O enunciado dá os índices de glicose (em mg/dL) de vinte pacientes e pede duas coisas:
(a) calcular a média e a variância desses vinte valores;
(b) recalcular média e variância supondo que todos os valores sofreram um erro de medição de 10\\ \mathrm{mg/dL} para menos (ou seja, os valores verdadeiros são os dados acrescidos de 10).
Lista dos dados (pegos do enunciado):
77,\;75,\;82,\;76,\;69,\;71,\;80,\;66,\;85,\;77,\;72,\;100,\;80,\;86,\;74,\;90,\;69,\;89,\;74,\;115.
Número de observações: n=20.

Passo 2

Definição e cálculo da média (passo-a-passo didático).
  • Definição: a média aritmética \bar{x} de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui \bar{x} é o valor típico (centro) dos dados, x_i são as observações e n é a quantidade de observações.
  • Vamos calcular a soma das observações para aplicar a fórmula. Somando os valores fornecidos:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 1607.
  • Então a média é
\bar{x}=\frac{1607}{20}=80,35\\ \mathrm{mg/dL}.
Explicação curta: a média é só a soma dividida pelo número de pacientes; aqui deu 80,35.

Passo 3

Definição e fórmula prática da variância (explicação didática).
  • Definição (variância populacional): a variância mede a dispersão em torno da média. Para n valores a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Aqui \sigma^2 tem unidade (\mathrm{mg/dL})^2. Cada termo (x_i-\bar{x})^2 é o quadrado do desvio do i-ésimo valor em relação à média.
  • Fórmula computacional mais prática (mesma quantidade) que evita calcular muitos quadrados de diferenças:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2.
Prova rápida (expansão): \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2 -2\bar{x}\frac{1}{n}\sum x_i +\bar{x}^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2 -\bar{x}^2, pois \frac{1}{n}\sum x_i=\bar{x}.

Passo 4

Cálculo prático da variância usando a fórmula \sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum x_i^2-\bar{x}^2.
  • Primeiro, calculei a soma dos quadrados dos dados (peguei cada x_i do enunciado e somei x_i^2):
\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 131705.
  • Então \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 = \dfrac{131705}{20}=6585,25.
  • \bar{x}^2=(80,35)^2=6456,1225.
  • Portanto a variância é
\sigma^2 = 6585,25 - 6456,1225 = 129,1275\\ (\mathrm{mg/dL})^2.
Interpretação: a variância numérica é 129,1275 em unidades quadradas; o desvio padrão seria \sqrt{129,1275} se fosse necessário.

Passo 5

Parte (b): efeito de um erro sistemático de 10\\ \mathrm{mg/dL} para menos em todas as medições — ensino da propriedade e aplicação.
  • Se os valores medidos foram x_i e houve erro de 10 para menos, os valores verdadeiros são y_i=x_i+10 para todo i.
Propriedades importantes (e fáceis de provar):
  1. A média se desloca da mesma maneira: \bar{y}=\bar{x}+10. Prova: \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum (x_i+10)=\bar{x}+10.
  2. A variância não muda ao somar uma constante a todos os dados: \mathrm{Var}(y)=\mathrm{Var}(x). Prova: \frac{1}{n}\sum (y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n}\sum (x_i+10-\bar{x}-10)^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2.
  • Aplicando: como \bar{x}=80,35, a média corrigida é
\bar{y}=\bar{x}+10=80,35+10=90,35\\ \mathrm{mg/dL}.
  • E a variância permanece
\mathrm{Var}(y)=\sigma^2=129,1275\\ (\mathrm{mg/dL})^2.

Passo 6

Resumo final e motivação prática (um empurrãozinho): a média subiu exatamente 10 porque cada observação subiu 10; a variância não muda porque a dispersão relativa entre os pacientes continua a mesma. Isso é uma arma secreta rápida para a prova: deslocamentos (adição de constante) mudam média, mas não a variância.

Resposta

(a) \bar{x}=80,35\\ \mathrm{mg/dL}; \sigma^2=129,1275\\ (\mathrm{mg/dL})^2
(b) \bar{x}_{\text{corrigida}}=90,35\\ \mathrm{mg/dL}; \sigma^2_{\text{corrigida}}=129,1275\\ (\mathrm{mg/dL})^2

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