Estudando-se o consumo diário de leite, verificou-se que, em certa região, 32 \% das famílias consomem uma quantidade inferior a um litro, 38 \% consomem entre um e dois litros, 20 \% consomem entre dois e três litros e o restante consome entre três e cinco litros. Para a variável em estudo:
a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de frequências.
b) Construa o histograma.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Escrever as informações como uma tabela de frequências.
  2. (b) Construir o histograma correspondente.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • Percentual de famílias que consomem menos de 1 litro: 32\%.
  • Percentual que consome entre 1 e 2 litros: 38\%.
  • Percentual que consome entre 2 e 3 litros: 20\%.
  • O restante consome entre 3 e 5 litros. (Ainda não calculado.)
Observações úteis para a tabela/histograma (aqui só listando; não estou resolvendo ainda):
  • As classes (intervalos) são: [0,1) (interpretação usual para “inferior a 1”), [1,2), [2,3) e [3,5).
  • As larguras (comprimentos) dos intervalos serão importantes para o histograma: provavelmente 1,1,1 e 2 litros, respectivamente.
  • Para o histograma, quando as classes têm larguras diferentes (aqui a última tem largura 2), a altura das barras deve ser a densidade de frequência (frequência relativa dividida pela largura), para que a área de cada barra represente a frequência relativa (percentual).

Passo 2

Calcular o percentual da última classe (restante).
Somamos os percentuais dados e subtraímos de 100\%:
32\% + 38\% + 20\% = 90\%.
Logo o restante é
100\% - 90\% = 10\%.
Portanto a classe [3,5) tem frequência relativa 10\%.

Passo 3

Montar a tabela básica com intervalos e frequências relativas. Vou listar cada classe, sua frequência relativa e a largura (comprimento) do intervalo:
  • Classe 1: [0,1) — frequência relativa 32\% — largura 1.
  • Classe 2: [1,2) — frequência relativa 38\% — largura 1.
  • Classe 3: [2,3) — frequência relativa 20\% — largura 1.
  • Classe 4: [3,5) — frequência relativa 10\% — largura 2.

Passo 4

Explicar o que é densidade de frequência e calcular para cada classe (passo importante para o histograma):
  • Definição didática: densidade de frequência = (frequência relativa) ÷ (largura da classe). É a altura que a barra do histograma deve ter quando se quer que a área da barra represente a frequência relativa da classe.
    • A área da barra = (altura = densidade) × (largura) = frequência relativa.
  • Vou trabalhar tanto em porcentagem por litro ( \%\!/\mathrm{L}) quanto em proporção por litro (valor entre 0 e 1 por litro).
Cálculos (cada um mostrando raciocínio):
  • Para [0,1): largura 1. Densidade em porcentagem por litro: \text{densidade} = \dfrac{32\%}{1} = 32\%\!/\mathrm{L}.Em proporção por litro: \dfrac{0,32}{1} = 0,32\\ \text{por L}.
  • Para [1,2): largura 1. \text{densidade} = \dfrac{38\%}{1} = 38\%\!/\mathrm{L} = 0,38\\ \text{por L}.
  • Para [2,3): largura 1. \text{densidade} = \dfrac{20\%}{1} = 20\%\!/\mathrm{L} = 0,20\\ \text{por L}.
  • Para [3,5): largura 2. \text{densidade} = \dfrac{10\%}{2} = 5\%\!/\mathrm{L} = 0,05\\ \text{por L}.
Verificação rápida (áreas = frequências relativas):
  • Área de [0,1): 32\%\!/\mathrm{L}\times 1\\ \mathrm{L} = 32\%.
  • Área de [1,2): 38\%.
  • Área de [2,3): 20\%.
  • Área de [3,5): 5\%\!/\mathrm{L}\times 2\\ \mathrm{L} = 10\%.
    Somando: 32\%+38\%+20\%+10\%=100\%. Ok.

Passo 5

Construir a tabela final de frequências (vou incluir: intervalo, largura, frequência relativa, frequência acumulada e densidade).
  • Para formar a frequência acumulada: somar progressivamente as frequências relativas.
    • Após [0,1): acumulada 32\%.
    • Após [1,2): acumulada 32\%+38\%=70\%.
    • Após [2,3): acumulada 70\%+20\%=90\%.
    • Após [3,5): acumulada 90\%+10\%=100\%.
Tabela (linha por linha, cada valor já calculado):
  • Classe [0,1): largura 1, frequência relativa 32\%, acumulada 32\%, densidade 32\%\!/\mathrm{L} (ou 0,32 por L).
  • Classe [1,2): largura 1, frequência relativa 38\%, acumulada 70\%, densidade 38\%\!/\mathrm{L} (ou 0,38 por L).
  • Classe [2,3): largura 1, frequência relativa 20\%, acumulada 90\%, densidade 20\%\!/\mathrm{L} (ou 0,20 por L).
  • Classe [3,5): largura 2, frequência relativa 10\%, acumulada 100\%, densidade 5\%\!/\mathrm{L} (ou 0,05 por L).

Passo 6

Construir o histograma — instruções passo a passo (o que plotar e por quê):
  1. Eixos:
    • Eixo horizontal (x): consumir litros, de 0 até 5.
    • Eixo vertical (y): escolha a unidade de altura. Duas opções habituais:
      • Usar \%\!/\mathrm{L} (porcentagem por litro). Então as alturas serão 32, 38, 20, 5 nas classes, respectivamente.
      • Ou usar proporção por litro (valor entre 0 e 1 por L). Então as alturas serão 0,32,\;0,38,\;0,20,\;0,05.
    • Eu recomendo usar \%\!/\mathrm{L} aqui porque os dados vieram em percentuais (fica mais intuitivo).
  2. Para cada classe, desenhar uma barra que:
    • Se estende no eixo x exatamente pelo intervalo da classe: [0,1), [1,2), [2,3), [3,5).
    • Tenha altura igual à densidade calculada (em \%\!/\mathrm{L} ou proporção por L). Assim:
      • Barra em [0,1): altura 32\%\!/\mathrm{L}.
      • Barra em [1,2): altura 38\%\!/\mathrm{L}.
      • Barra em [2,3): altura 20\%\!/\mathrm{L}.
      • Barra em [3,5): altura 5\%\!/\mathrm{L}.
  3. Checar visualmente que a área de cada barra (altura × largura) corresponde ao percentual da classe:
    • Ex.: última barra: altura 5\%\!/\mathrm{L} × largura 2\\ \mathrm{L} = 10\%, que é a frequência relativa da última classe.
  4. Marcar no eixo y alguns rótulos fáceis (ex.: 0\%,\;5\%\!/\mathrm{L},\;10\%\!/\mathrm{L},\;20\%\!/\mathrm{L},\;30\%\!/\mathrm{L},\;40\%\!/\mathrm{L}) para orientar a leitura.
Observação didática rápida: se alguém, na prova, desenhar barras com alturas iguais aos percentuais e não dividir pela largura quando houver classes com larguras diferentes, o histograma ficará enganoso — a área não representará as frequências relativas corretamente. Por isso a densidade é essencial quando as larguras variam.

Resposta

(a) Tabela de frequências:
  • Classe [0,1): largura 1, frequência relativa 32\%, acumulada 32\%, densidade 32\%\!/\mathrm{L} (ou 0,32 por L).
  • Classe [1,2): largura 1, frequência relativa 38\%, acumulada 70\%, densidade 38\%\!/\mathrm{L} (ou 0,38 por L).
  • Classe [2,3): largura 1, frequência relativa 20\%, acumulada 90\%, densidade 20\%\!/\mathrm{L} (ou 0,20 por L).
  • Classe [3,5): largura 2, frequência relativa 10\%, acumulada 100\%, densidade 5\%\!/\mathrm{L} (ou 0,05 por L).
(b) Histograma (descrição para desenhar):
  • Eixo x: de 0 a 5 litros com barras sobre os intervalos [0,1), [1,2), [2,3), [3,5).
  • Alturas das barras (em \%\!/\mathrm{L}):
    • [0,1): altura 32\%\!/\mathrm{L}.
    • [1,2): altura 38\%\!/\mathrm{L}.
    • [2,3): altura 20\%\!/\mathrm{L}.
    • [3,5): altura 5\%\!/\mathrm{L}.
  • As áreas das barras são 32\%, 38\%, 20\% e 10\% respectivamente, totalizando 100\%.

Exercícios relacionados