Estudando-se o consumo diário de leite, verificou-se que, em certa região,
das famílias consomem uma quantidade inferior a um litro,
consomem entre um e dois litros,
consomem entre dois e três litros e o restante consome entre três e cinco litros. Para a variável em estudo:
a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de frequências.
b) Construa o histograma.
a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de frequências.
b) Construa o histograma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Escrever as informações como uma tabela de frequências.
- (b) Construir o histograma correspondente.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
- Percentual de famílias que consomem menos de 1 litro:
. - Percentual que consome entre 1 e 2 litros:
. - Percentual que consome entre 2 e 3 litros:
. - O restante consome entre 3 e 5 litros. (Ainda não calculado.)
Observações úteis para a tabela/histograma (aqui só listando; não estou resolvendo ainda):
- As classes (intervalos) são:
(interpretação usual para “inferior a 1”), , e . - As larguras (comprimentos) dos intervalos serão importantes para o histograma: provavelmente
e litros, respectivamente. - Para o histograma, quando as classes têm larguras diferentes (aqui a última tem largura
), a altura das barras deve ser a densidade de frequência (frequência relativa dividida pela largura), para que a área de cada barra represente a frequência relativa (percentual).
Passo 2
Calcular o percentual da última classe (restante).
Somamos os percentuais dados e subtraímos de :
Somamos os percentuais dados e subtraímos de
Logo o restante é
Portanto a classe
tem frequência relativa
.
Passo 3
Montar a tabela básica com intervalos e frequências relativas. Vou listar cada classe, sua frequência relativa e a largura (comprimento) do intervalo:
- Classe 1:
— frequência relativa — largura . - Classe 2:
— frequência relativa — largura . - Classe 3:
— frequência relativa — largura . - Classe 4:
— frequência relativa — largura .
Passo 4
Explicar o que é densidade de frequência e calcular para cada classe (passo importante para o histograma):
- Definição didática: densidade de frequência = (frequência relativa) ÷ (largura da classe). É a altura que a barra do histograma deve ter quando se quer que a área da barra represente a frequência relativa da classe.
- A área da barra = (altura = densidade) × (largura) = frequência relativa.
- Vou trabalhar tanto em porcentagem por litro (
) quanto em proporção por litro (valor entre e por litro).
Cálculos (cada um mostrando raciocínio):
- Para
: largura . Densidade em porcentagem por litro: Em proporção por litro: - Para
: largura . - Para
: largura . - Para
: largura .
Verificação rápida (áreas = frequências relativas):
- Área de
: . - Área de
: . - Área de
: . - Área de
: .
Somando:. Ok.
Passo 5
Construir a tabela final de frequências (vou incluir: intervalo, largura, frequência relativa, frequência acumulada e densidade).
- Para formar a frequência acumulada: somar progressivamente as frequências relativas.
- Após
: acumulada . - Após
: acumulada . - Após
: acumulada . - Após
: acumulada .
- Após
Tabela (linha por linha, cada valor já calculado):
- Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L). - Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L). - Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L). - Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L).
Passo 6
Construir o histograma — instruções passo a passo (o que plotar e por quê):
- Eixos:
- Eixo horizontal (x): consumir litros, de
até . - Eixo vertical (y): escolha a unidade de altura. Duas opções habituais:
- Usar
(porcentagem por litro). Então as alturas serão nas classes, respectivamente. - Ou usar proporção por litro (valor entre
e por L). Então as alturas serão .
- Usar
- Eu recomendo usar
aqui porque os dados vieram em percentuais (fica mais intuitivo).
- Eixo horizontal (x): consumir litros, de
- Para cada classe, desenhar uma barra que:
- Se estende no eixo x exatamente pelo intervalo da classe:
, , , . - Tenha altura igual à densidade calculada (em
ou proporção por L). Assim: - Barra em
: altura . - Barra em
: altura . - Barra em
: altura . - Barra em
: altura .
- Barra em
- Se estende no eixo x exatamente pelo intervalo da classe:
- Checar visualmente que a área de cada barra (altura × largura) corresponde ao percentual da classe:
- Ex.: última barra: altura
× largura , que é a frequência relativa da última classe.
- Ex.: última barra: altura
- Marcar no eixo y alguns rótulos fáceis (ex.:
) para orientar a leitura.
Observação didática rápida: se alguém, na prova, desenhar barras com alturas iguais aos percentuais e não dividir pela largura quando houver classes com larguras diferentes, o histograma ficará enganoso — a área não representará as frequências relativas corretamente. Por isso a densidade é essencial quando as larguras variam.
Resposta
(a) Tabela de frequências:
- Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L). - Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L). - Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L). - Classe
: largura , frequência relativa , acumulada , densidade (ou por L).
(b) Histograma (descrição para desenhar):
- Eixo
: de a litros com barras sobre os intervalos , , , . - Alturas das barras (em
): -
: altura . -
: altura . -
: altura . -
: altura .
-
- As áreas das barras são
, , e respectivamente, totalizando .