Em um controle de qualidade industrial, foram medidas as espessuras (em mm) de 30 chapas metálicas produzidas em um mesmo lote.
Os dados coletados foram:
9,8
10,1
9,9
10,0
10,3
9,7
10,2
10,0
9,8
10,1
10,5
9,6
10,4
10,0
9,9
10,2
10,1
9,8
10,3
10,0
9,7
10,6
9,8
10,2
10,4
10,0
9,9
10,1
9,6
10,5
(a) Determine a amplitude total.
(b) Determine o número de classes e o tamanho da classe, utilizando:
(c) Construa a tabela de frequências, contendo:
- Intervalo de classe
- Frequência absoluta
- Frequência relativa (
)
- Frequência acumulada (
)
(d) Represente os resultados em um histograma de frequências.
(Rotule os eixos: “Espessura ( mm )” e “Frequência relativa em porcentagem”)
| 9,8 | 10,1 | 9,9 | 10,0 | 10,3 | 9,7 | 10,2 | 10,0 | 9,8 | 10,1 |
| 10,5 | 9,6 | 10,4 | 10,0 | 9,9 | 10,2 | 10,1 | 9,8 | 10,3 | 10,0 |
| 9,7 | 10,6 | 9,8 | 10,2 | 10,4 | 10,0 | 9,9 | 10,1 | 9,6 | 10,5 |
(b) Determine o número de classes e o tamanho da classe, utilizando:
(d) Represente os resultados em um histograma de frequências.
(Rotule os eixos: “Espessura ( mm )” e “Frequência relativa em porcentagem”)
Passo 1
O enunciado nos dá
medições de espessura (em mm). Vou listar claramente o que foi pedido e os dados relevantes (peguei todos os valores do enunciado):
- Amostra (valores em mm):
- Tamanho da amostra:
.
O enunciado pede:
(a) determinar a amplitude total;
(b) determinar o número de classes e o tamanho da classe
usando
(a) determinar a amplitude total;
(b) determinar o número de classes
(c) construir a tabela de frequências contendo: intervalo de classe, frequência absoluta
, frequência relativa
e frequência acumulada
;
(d) representar os resultados em um histograma rotulando os eixos com “Espessura ( mm )” e “Frequência relativa em porcentagem”.
(d) representar os resultados em um histograma rotulando os eixos com “Espessura ( mm )” e “Frequência relativa em porcentagem”.
A partir daqui começo os cálculos passo a passo.
Passo 2
O que é amplitude total e como calcular:
- A amplitude total (alcance, range) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra.
- Fórmula:
.
Agora identificoe nos dados (peguei estes valores diretamente da lista acima): -
(há duas observações iguais a ). -
(há uma observação igual a ).
Calculo:
Passo 3
Determinar
e
segundo as fórmulas dadas.
- Primeiro
. Vamos calcular aproximadamente:
Como
precisa ser um número inteiro (número de classes), faço um arredondamento para o inteiro mais próximo. Aqui
arredonda para
. Além disso, escolher
produz classes com largura prática em décimos de milímetro, o que combina bem com a precisão dos dados (uma casa decimal).
Portanto:
- Agora o tamanho da classe:
Comentário prático: escolher
inteiro é necessário para construir as classes; escolhemos
por arredondamento e por conveniência com a precisão dos dados.
Passo 4
Definir os intervalos de classe a partir de
e do tamanho
.
- Inicio o primeiro intervalo em
e adiciono sucessivamente. - Adoto o convênio: todos os intervalos são do tipo
(inclui , exclui ), exceto o último que inclui o limite superior para garantir que seja contado. Isso evita ambiguidade em valores exatamente na fronteira.
Assim os
intervalos ficam:
Passo 5
Contar a frequência absoluta
em cada classe (passo a passo, com ajuda da contagem por valores únicos).
Primeiro, conto quantas vezes cada valor único aparece (peguei os valores da lista):
-
: observações. -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Agora agrupo por classes definidas:
-
Classe 1
inclui e : -
Classe 2
inclui e : -
Classe 3
inclui e : -
Classe 4
inclui e : -
Classe 5
inclui :
Verificação:
. Está consistente.
Passo 6
Calcular a frequência relativa
e a frequência acumulada
.
- Fórmula da frequência relativa (proporção):
- Para transformar em porcentagem, multiplica-se por
:
- Frequência acumulada
(aqui uso a forma acumulada absoluta): soma cumulativa das até cada classe.
Cálculos (mostrando os valores em porcentagem com duas casas decimais quando necessário):
-
Classe 1:
. Frequência acumulada. -
Classe 2:
. Frequência acumulada. -
Classe 3:
. Frequência acumulada. -
Classe 4:
. Frequência acumulada. -
Classe 5:
. Frequência acumulada.
Confirmação rápida: somando as porcentagens
(com arredondamentos).
Passo 7
Apresento a tabela de frequências pedida com as colunas solicitadas (intervalo de classe,
,
em porcentagem,
acumulada absoluta).
-
: , , . -
: , , . -
: , , . -
: , , . -
: , , .
Passo 8
Como desenhar o histograma pedido (passo a passo prático) e apresentação dos valores que devem aparecer no gráfico.
Instruções para o histograma:
- No eixo horizontal (eixo
) coloque: Espessura ( mm ). Marque os intervalos de classe contíguos: a , a , a , a , a . - No eixo vertical (eixo
) coloque: Frequência relativa em porcentagem. Use uma escala que cubra até algo acima de (por exemplo até ou para ficar visualmente confortável). - Para cada classe, desenhe uma barra cuja base ocupa o intervalo de classe e cuja altura é
calculada. - Alturas (porcentagens) das barras:
-
: -
: -
: -
: -
:
-
- Alturas (porcentagens) das barras:
- Rotule os eixos exatamente como pedido: eixo
-> “Espessura ( mm )”; eixo -> “Frequência relativa em porcentagem”. - Se desenhar manualmente, marque as alturas com linhas guias (por ex.
, , , , , , , ). Se usar software (Excel, R, Python/matplotlib), informe os intervalos como bins com limites mostrados acima e plote as alturas em porcentagem.
Exemplo rápido (representação textual simples; cada “■” vale aproximadamente
para dar uma ideia visual):
Isso é só uma ilustração; para o gráfico correto, trace barras com as alturas numéricas indicadas.
Resposta
(a) Amplitude total:
.
(b) Número de classes:
. Tamanho da classe:
.
(c) Tabela de frequências:
:
:
:
:
:
(d) Histograma (alturas das barras = frequência relativa em %):
,
,
,
,
.
Eixos: rotulado “Espessura ( mm )”;
rotulado “Frequência relativa em porcentagem”.
Eixos: