Em um controle de qualidade industrial, foram medidas as espessuras (em mm) de 30 chapas metálicas produzidas em um mesmo lote.
Os dados coletados foram:
9,8 10,1 9,9 10,0 10,3 9,7 10,2 10,0 9,8 10,1
10,5 9,6 10,4 10,0 9,9 10,2 10,1 9,8 10,3 10,0
9,7 10,6 9,8 10,2 10,4 10,0 9,9 10,1 9,6 10,5
(a) Determine a amplitude total.
(b) Determine o número de classes e o tamanho da classe, utilizando:
k=\sqrt{n} \quad \text { e } \quad c=\frac{X_{\max }-X_{\min }}{k}
(c) Construa a tabela de frequências, contendo:
  • Intervalo de classe
  • Frequência absoluta \left(n_{i}\right)
  • Frequência relativa ( f_{i} )
  • Frequência acumulada ( f_{a c} )
    (d) Represente os resultados em um histograma de frequências.
    (Rotule os eixos: “Espessura ( mm )” e “Frequência relativa em porcentagem”)

Passo 1

O enunciado nos dá 30 medições de espessura (em mm). Vou listar claramente o que foi pedido e os dados relevantes (peguei todos os valores do enunciado):
  • Amostra (valores em mm):
9{,}8,\;10{,}1,\;9{,}9,\;10{,}0,\;10{,}3,\;9{,}7,\;10{,}2,\;10{,}0,\;9{,}8,\;10{,}1,
10{,}5,\;9{,}6,\;10{,}4,\;10{,}0,\;9{,}9,\;10{,}2,\;10{,}1,\;9{,}8,\;10{,}3,\;10{,}0,
9{,}7,\;10{,}6,\;9{,}8,\;10{,}2,\;10{,}4,\;10{,}0,\;9{,}9,\;10{,}1,\;9{,}6,\;10{,}5
  • Tamanho da amostra: n=30.
O enunciado pede:
(a) determinar a amplitude total;
(b) determinar o número de classes k e o tamanho da classe c usando
k=\sqrt{n},\qquad c=\dfrac{X_{\max}-X_{\min}}{k};
(c) construir a tabela de frequências contendo: intervalo de classe, frequência absoluta n_i, frequência relativa f_i e frequência acumulada f_{ac};
(d) representar os resultados em um histograma rotulando os eixos com “Espessura ( mm )” e “Frequência relativa em porcentagem”.
A partir daqui começo os cálculos passo a passo.

Passo 2

O que é amplitude total e como calcular:
  • A amplitude total (alcance, range) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra.
  • Fórmula: \text{amplitude} = X_{\max}-X_{\min}.
    Agora identifico X_{\min} e X_{\max} nos dados (peguei estes valores diretamente da lista acima):
  • X_{\min}=9{,}6 (há duas observações iguais a 9{,}6).
  • X_{\max}=10{,}6 (há uma observação igual a 10{,}6).
Calculo:
\text{amplitude} = 10{,}6 - 9{,}6 = 1{,}0\\ \text{mm}.

Passo 3

Determinar k e c segundo as fórmulas dadas.
  • Primeiro k=\sqrt{n}=\sqrt{30}. Vamos calcular aproximadamente:
\sqrt{30}\approx 5{,}477\ldots
Como k precisa ser um número inteiro (número de classes), faço um arredondamento para o inteiro mais próximo. Aqui 5{,}477\ldots arredonda para 5. Além disso, escolher k=5 produz classes com largura prática em décimos de milímetro, o que combina bem com a precisão dos dados (uma casa decimal).
Portanto:
k=5.
  • Agora o tamanho da classe:
c=\dfrac{X_{\max}-X_{\min}}{k}=\dfrac{1{,}0}{5}=0{,}2\\ \text{mm}.
Comentário prático: escolher k inteiro é necessário para construir as classes; escolhemos k=5 por arredondamento e por conveniência com a precisão dos dados.

Passo 4

Definir os intervalos de classe a partir de X_{\min} e do tamanho c.
  • Inicio o primeiro intervalo em X_{\min}=9{,}6 e adiciono c=0{,}2 sucessivamente.
  • Adoto o convênio: todos os intervalos são do tipo [a,b) (inclui a, exclui b), exceto o último que inclui o limite superior para garantir que X_{\max} seja contado. Isso evita ambiguidade em valores exatamente na fronteira.
Assim os k=5 intervalos ficam:
\text{Classe 1}:\\ [9{,}6,\;9{,}8),
\text{Classe 2}:\\ [9{,}8,\;10{,}0),
\text{Classe 3}:\\ [10{,}0,\;10{,}2),
\text{Classe 4}:\\ [10{,}2,\;10{,}4),
\text{Classe 5}:\\ [10{,}4,\;10{,}6]\quad(\text{inclui o }10{,}6).

Passo 5

Contar a frequência absoluta n_i em cada classe (passo a passo, com ajuda da contagem por valores únicos).
Primeiro, conto quantas vezes cada valor único aparece (peguei os valores da lista):
  • 9{,}6: 2 observações.
  • 9{,}7: 2.
  • 9{,}8: 4.
  • 9{,}9: 3.
  • 10{,}0: 5.
  • 10{,}1: 4.
  • 10{,}2: 3.
  • 10{,}3: 2.
  • 10{,}4: 2.
  • 10{,}5: 2.
  • 10{,}6: 1.
Agora agrupo por classes definidas:
  • Classe 1 [9{,}6,9{,}8) inclui 9{,}6 e 9{,}7:
    n_1 = 2 + 2 = 4.
  • Classe 2 [9{,}8,10{,}0) inclui 9{,}8 e 9{,}9:
    n_2 = 4 + 3 = 7.
  • Classe 3 [10{,}0,10{,}2) inclui 10{,}0 e 10{,}1:
    n_3 = 5 + 4 = 9.
  • Classe 4 [10{,}2,10{,}4) inclui 10{,}2 e 10{,}3:
    n_4 = 3 + 2 = 5.
  • Classe 5 [10{,}4,10{,}6] inclui 10{,}4,\;10{,}5,\;10{,}6:
    n_5 = 2 + 2 + 1 = 5.
Verificação: n_1+n_2+n_3+n_4+n_5 = 4+7+9+5+5 = 30 = n. Está consistente.

Passo 6

Calcular a frequência relativa f_i e a frequência acumulada f_{ac}.
  • Fórmula da frequência relativa (proporção):
f_i=\dfrac{n_i}{n}.
  • Para transformar em porcentagem, multiplica-se por 100\%:
f_i(\%)=100\%\cdot f_i.
  • Frequência acumulada f_{ac} (aqui uso a forma acumulada absoluta): soma cumulativa das n_i até cada classe.
Cálculos (mostrando os valores em porcentagem com duas casas decimais quando necessário):
  • Classe 1: n_1=4.
    f_1=\dfrac{4}{30}=0{,}1333\ldots\quad\Rightarrow\quad f_1(\%)=13{,}33\%.
    Frequência acumulada f_{ac,1}=4.
  • Classe 2: n_2=7.
    f_2=\dfrac{7}{30}=0{,}2333\ldots\quad\Rightarrow\quad f_2(\%)=23{,}33\%.
    Frequência acumulada f_{ac,2}=4+7=11.
  • Classe 3: n_3=9.
    f_3=\dfrac{9}{30}=0{,}30\quad\Rightarrow\quad f_3(\%)=30{,}00\%.
    Frequência acumulada f_{ac,3}=11+9=20.
  • Classe 4: n_4=5.
    f_4=\dfrac{5}{30}=0{,}1666\ldots\quad\Rightarrow\quad f_4(\%)=16{,}67\%.
    Frequência acumulada f_{ac,4}=20+5=25.
  • Classe 5: n_5=5.
    f_5=\dfrac{5}{30}=0{,}1666\ldots\quad\Rightarrow\quad f_5(\%)=16{,}67\%.
    Frequência acumulada f_{ac,5}=25+5=30.
Confirmação rápida: somando as porcentagens 13{,}33\%+23{,}33\%+30{,}00\%+16{,}67\%+16{,}67\%=100{,}00\% (com arredondamentos).

Passo 7

Apresento a tabela de frequências pedida com as colunas solicitadas (intervalo de classe, n_i, f_i em porcentagem, f_{ac} acumulada absoluta).
  • [9{,}6,\;9{,}8): n_1=4, f_1=13{,}33\%, f_{ac}=4.
  • [9{,}8,\;10{,}0): n_2=7, f_2=23{,}33\%, f_{ac}=11.
  • [10{,}0,\;10{,}2): n_3=9, f_3=30{,}00\%, f_{ac}=20.
  • [10{,}2,\;10{,}4): n_4=5, f_4=16{,}67\%, f_{ac}=25.
  • [10{,}4,\;10{,}6]: n_5=5, f_5=16{,}67\%, f_{ac}=30.

Passo 8

Como desenhar o histograma pedido (passo a passo prático) e apresentação dos valores que devem aparecer no gráfico.
Instruções para o histograma:
  1. No eixo horizontal (eixo x) coloque: Espessura ( mm ). Marque os intervalos de classe contíguos: 9{,}6 a 9{,}8, 9{,}8 a 10{,}0, 10{,}0 a 10{,}2, 10{,}2 a 10{,}4, 10{,}4 a 10{,}6.
  2. No eixo vertical (eixo y) coloque: Frequência relativa em porcentagem. Use uma escala que cubra 0\% até algo acima de 30\% (por exemplo até 35\% ou 40\% para ficar visualmente confortável).
  3. Para cada classe, desenhe uma barra cuja base ocupa o intervalo de classe e cuja altura é f_i(\%) calculada.
    • Alturas (porcentagens) das barras:
      • [9{,}6,9{,}8): 13{,}33\%
      • [9{,}8,10{,}0): 23{,}33\%
      • [10{,}0,10{,}2): 30{,}00\%
      • [10{,}2,10{,}4): 16{,}67\%
      • [10{,}4,10{,}6]: 16{,}67\%
  4. Rotule os eixos exatamente como pedido: eixo x -> “Espessura ( mm )”; eixo y -> “Frequência relativa em porcentagem”.
  5. Se desenhar manualmente, marque as alturas com linhas guias (por ex. 0\%, 5\%, 10\%, 15\%, 20\%, 25\%, 30\%, 35\%). Se usar software (Excel, R, Python/matplotlib), informe os intervalos como bins com limites mostrados acima e plote as alturas em porcentagem.
Exemplo rápido (representação textual simples; cada “■” vale aproximadamente 1\% para dar uma ideia visual):
\begin{array}{l} [9{,}6,9{,}8):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ■■■■■■■■■■■■■\\ (13{,}33\%)\\\ [9{,}8,10{,}0):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■\\ (23{,}33\%)\\\ [10{,}0,10{,}2):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■\\ (30{,}00\%)\\\ [10{,}2,10{,}4):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ■■■■■■■■■■■■■\\ (16{,}67\%)\\\ [10{,}4,10{,}6]:\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ■■■■■■■■■■■■■\\ (16{,}67\%) \end{array}
Isso é só uma ilustração; para o gráfico correto, trace barras com as alturas numéricas indicadas.

Resposta

(a) Amplitude total: 1{,}0\\ \text{mm}.
(b) Número de classes: k=5. Tamanho da classe: c=0{,}2\\ \text{mm}.
(c) Tabela de frequências:
[9{,}6,\;9{,}8): n_1=4,\;f_1=13{,}33\%,\;f_{ac}=4
[9{,}8,\;10{,}0): n_2=7,\;f_2=23{,}33\%,\;f_{ac}=11
[10{,}0,\;10{,}2): n_3=9,\;f_3=30{,}00\%,\;f_{ac}=20
[10{,}2,\;10{,}4): n_4=5,\;f_4=16{,}67\%,\;f_{ac}=25
[10{,}4,\;10{,}6]: n_5=5,\;f_5=16{,}67\%,\;f_{ac}=30
(d) Histograma (alturas das barras = frequência relativa em %): 13{,}33\%, 23{,}33\%, 30{,}00\%, 16{,}67\%, 16{,}67\%.
Eixos: x rotulado “Espessura ( mm )”; y rotulado “Frequência relativa em porcentagem”.

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