Um artigo retirado da revista Technometrics (Vol. 19, 1977, p. 425) apresenta os seguintes dados sobre a taxa de octanagem de várias misturas de gasolina:

Dados:

83.4 84.3 84.3 85.3 86.7 86.7 86.7 86.7 87.4 87.5
87.6 87.7 87.8 87.9 88.2 88.3 88.3 88.3 88.3 88.4
88.5 88.5 88.6 88.6 88.7 88.9 89.0 89.1 89.1 89.2
89.3 89.3 89.3 89.4 89.6 89.7 89.8 89.8 89.9 89.9
89.9 90.0 90.1 90.1 90.1 90.1 90.3 90.4 90.4 90.4
90.4 90.5 90.6 90.6 90.7 90.8 90.9 91.0 91.0 91.0
91.0 91.1 91.1 91.1 91.1 91.2 91.2 91.6 91.6 91.8
91.8 91.8 92.2 92.2 92.2 92.3 92.6 92.7 92.7 92.7
93.0 93.2 93.3 93.3 93.3 93.4 93.7 94.2 94.2 94.4
96.1 96.5 98.8 100.3
Construa a distribuição de frequência e o histograma. Use 8 intervalos de classe.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: construir a distribuição de frequência (com 8 classes) e construir o histograma desses dados de taxa de octanagem. As informações relevantes fornecidas (extraídas da tabela do enunciado) que vou usar são:
  • Número de observações (contando os valores na tabela): n=94.
  • Menor valor observado: \min=83,4.
  • Maior valor observado: \max=100,3.

Passo 2

Calcular a amplitude total (alcance) dos dados e a largura de classe teórica:
  • A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor:
\text{amplitude}=\max-\min=100,3-83,4=16,9.
  • Com 8 classes a largura de classe teórica (sem arredondamento) é
h=\frac{\text{amplitude}}{8}=\frac{16,9}{8}=2,1125.
Explicação didática: h é a amplitude que cada classe deve ter se quisermos 8 classes de mesma largura. Como não é prático trabalhar com muitas casas decimais, e para garantir que todas as observações fiquem dentro das 8 classes (ou seja, a cobertura total seja suficiente), arredondamos h para cima. Vou usar
h=2,12,
porque 2,12>2,1125 e 8\cdot 2,12=16,96\ge 16,9, então a faixa total coberta pelas 8 classes será suficiente para incluir o maior valor.

Passo 3

Escolher o limite inicial da primeira classe e construir os 8 intervalos de classe com largura h=2,12.
  • Começo a primeira classe exatamente em \min=83,4 (poderia arredondar para baixo, mas aqui uso o valor exato dado).
  • As classes serão do tipo “inclusiva à esquerda e exclusiva à direita” (exceto a última que inclui o limite superior) para evitar dupla contagem. Ou seja, cada classe é [\text{limite inferior},\\ \text{limite superior}), e a última é [\ldots,\\ \text{limite superior}].
  • Calculando limites somando 2,12 sucessivamente, obtenho as 8 classes:
  1. [83,40,\;85,52) porque 83,40+2,12=85,52.
  2. [85,52,\;87,64) porque 85,52+2,12=87,64.
  3. [87,64,\;89,76) porque 87,64+2,12=89,76.
  4. [89,76,\;91,88) porque 89,76+2,12=91,88.
  5. [91,88,\;94,00) porque 91,88+2,12=94,00.
  6. [94,00,\;96,12) porque 94,00+2,12=96,12.
  7. [96,12,\;98,24) porque 96,12+2,12=98,24.
  8. [98,24,\;100,36] porque 98,24+2,12=100,36 (aqui incluo o limite superior para garantir que 100,3 caia na última classe).
Didática rápida sobre escolha de classes: escolhemos classes de igual largura para simplificar o histograma (as barras terão larguras iguais). Arredondar a largura para cima evita que o valor máximo caia fora do último intervalo por erro de arredondamento.

Passo 4

Contar quantos valores da amostra caem em cada classe (tallying). Como os dados estavam ordenados na tabela, conto sequencialmente, atribuindo cada observação ao intervalo apropriado (respeitando a inclusão à esquerda e exclusão à direita). Os resultados da contagem são:
  • Classe [83,40,\;85,52): 4 observações.
  • Classe [85,52,\;87,64): 7 observações.
  • Classe [87,64,\;89,76): 25 observações.
  • Classe [89,76,\;91,88): 36 observações.
  • Classe [91,88,\;94,00): 15 observações.
  • Classe [94,00,\;96,12): 4 observações.
  • Classe [96,12,\;98,24): 1 observação.
  • Classe [98,24,\;100,36]: 2 observações.
Verificação de consistência: a soma das frequências é
4+7+25+36+15+4+1+2=94,
que coincide com n=94 (boa checagem).

Passo 5

Calcular frequências relativas (proporções) e percentuais e também as frequências acumuladas — isso ajuda a interpretar a distribuição.
  • Frequência relativa de uma classe é \dfrac{\text{frequência}}{n}ê. Vou dar aproximações com duas casas decimais percentuais.
Para cada classe:
  1. [83,40,\;85,52): frequência =4. Frequência relativa =4/94\approx0,0426. Percentual \approx4,26\%. Frequência acumulada =4.
  2. [85,52,\;87,64): frequência =7. Frequência relativa =7/94\approx0,0745. Percentual \approx7,45\%. Acumulada =4+7=11.
  3. [87,64,\;89,76): frequência =25. Frequência relativa =25/94\approx0,2660. Percentual \approx26,60\%. Acumulada =36.
  4. [89,76,\;91,88): frequência =36. Frequência relativa =36/94\approx0,3830. Percentual \approx38,30\%. Acumulada =72.
  5. [91,88,\;94,00): frequência =15. Frequência relativa =15/94\approx0,1596. Percentual \approx15,96\%. Acumulada =87.
  6. [94,00,\;96,12): frequência =4. Frequência relativa =4/94\approx0,0426. Percentual \approx4,26\%. Acumulada =91.
  7. [96,12,\;98,24): frequência =1. Frequência relativa =1/94\approx0,0106. Percentual \approx1,06\%. Acumulada =92.
  8. [98,24,\;100,36]: frequência =2. Frequência relativa =2/94\approx0,0213. Percentual \approx2,13\%. Acumulada =94.
Também é útil o ponto médio de cada classe (para possíveis gráficos de frequência poligonal):
  • Midpoints:
\begin{aligned} &\text{classe 1: } \frac{83,40+85,52}{2}=84,46,\\\ &\text{classe 2: } 86,58,\\\ &\text{classe 3: } 88,70,\\\ &\text{classe 4: } 90,82,\\\ &\text{classe 5: } 92,94,\\\ &\text{classe 6: } 95,06,\\\ &\text{classe 7: } 97,18,\\\ &\text{classe 8: } 99,30. \end{aligned}

Passo 6

Como desenhar o histograma a partir dessa tabela (instruções passo a passo, para desenhar à mão ou em software):
  • No eixo horizontal (eixo x) marque os limites de classe: comece em 83,4, depois 85,52, 87,64, 89,76, 91,88, 94,00, 96,12, 98,24, 100,36.
  • No eixo vertical (eixo y) marque a frequência (número de observações). Como a maior frequência é 36, faça a escala vertical pelo menos até 40.
  • Para cada classe desenhe um retângulo que se estende horizontalmente do limite inferior ao limite superior da classe; a altura do retângulo é igual à frequência absoluta dessa classe (porque todas as classes têm largura igual). Não deixe espaços entre rectângulos (barras contíguas) porque os dados são contínuos.
  • Rotule os eixos: eixo x = “Taxa de octanagem”, eixo y = “Frequência (número de observações)”. Se quiser mostrar percentuais, pode rotular o eixo y em percentuais usando as frequências relativas multiplicadas por 100.
  • Se usar software (por exemplo R ou Excel), escolha bins com os limites especificados acima; no R a função hist() aceita argumentos breaks para forçar esses limites.

Passo 7

Resumo final dos resultados em forma de tabela de distribuição (pronto para consulta rápida) — a tabela abaixo contém: intervalo de classe, frequência absoluta, frequência relativa (proporção) e porcentagem aproximada.
  • [83,40,\;85,52): 4; 4/94\approx0,0426 ( \approx4,26\%).
  • [85,52,\;87,64): 7; 7/94\approx0,0745 ( \approx7,45\%).
  • [87,64,\;89,76): 25; 25/94\approx0,2660 ( \approx26,60\%).
  • [89,76,\;91,88): 36; 36/94\approx0,3830 ( \approx38,30\%).
  • [91,88,\;94,00): 15; 15/94\approx0,1596 ( \approx15,96\%).
  • [94,00,\;96,12): 4; 4/94\approx0,0426 ( \approx4,26\%).
  • [96,12,\;98,24): 1; 1/94\approx0,0106 ( \approx1,06\%).
  • [98,24,\;100,36]: 2; 2/94\approx0,0213 ( \approx2,13\%).

Resposta

[83,40,\;85,52): 4 ( 4/94\approx0,0426, \approx4,26\%)
[85,52,\;87,64): 7 ( 7/94\approx0,0745, \approx7,45\%)
[87,64,\;89,76): 25 ( 25/94\approx0,2660, \approx26,60\%)
[89,76,\;91,88): 36 ( 36/94\approx0,3830, \approx38,30\%)
[91,88,\;94,00): 15 ( 15/94\approx0,1596, \approx15,96\%)
[94,00,\;96,12): 4 ( 4/94\approx0,0426, \approx4,26\%)
[96,12,\;98,24): 1 ( 1/94\approx0,0106, \approx1,06\%)
[98,24,\;100,36]: 2 ( 2/94\approx0,0213, \approx2,13\%)
(Ao desenhar o histograma: usar estes limites de classe no eixo x e alturas iguais às frequências acima no eixo y; como todas as classes têm mesma largura, a altura do retângulo é diretamente a frequência.)

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