Um artigo retirado da revista Technometrics (Vol. 19, 1977, p. 425) apresenta os seguintes dados sobre a taxa de octanagem de várias misturas de gasolina:
Dados:
83.4
84.3
84.3
85.3
86.7
86.7
86.7
86.7
87.4
87.5
87.6
87.7
87.8
87.9
88.2
88.3
88.3
88.3
88.3
88.4
88.5
88.5
88.6
88.6
88.7
88.9
89.0
89.1
89.1
89.2
89.3
89.3
89.3
89.4
89.6
89.7
89.8
89.8
89.9
89.9
89.9
90.0
90.1
90.1
90.1
90.1
90.3
90.4
90.4
90.4
90.4
90.5
90.6
90.6
90.7
90.8
90.9
91.0
91.0
91.0
91.0
91.1
91.1
91.1
91.1
91.2
91.2
91.6
91.6
91.8
91.8
91.8
92.2
92.2
92.2
92.3
92.6
92.7
92.7
92.7
93.0
93.2
93.3
93.3
93.3
93.4
93.7
94.2
94.2
94.4
96.1
96.5
98.8
100.3
Construa a distribuição de frequência e o histograma. Use 8 intervalos de classe.
| 83.4 | 84.3 | 84.3 | 85.3 | 86.7 | 86.7 | 86.7 | 86.7 | 87.4 | 87.5 |
| 87.6 | 87.7 | 87.8 | 87.9 | 88.2 | 88.3 | 88.3 | 88.3 | 88.3 | 88.4 |
| 88.5 | 88.5 | 88.6 | 88.6 | 88.7 | 88.9 | 89.0 | 89.1 | 89.1 | 89.2 |
| 89.3 | 89.3 | 89.3 | 89.4 | 89.6 | 89.7 | 89.8 | 89.8 | 89.9 | 89.9 |
| 89.9 | 90.0 | 90.1 | 90.1 | 90.1 | 90.1 | 90.3 | 90.4 | 90.4 | 90.4 |
| 90.4 | 90.5 | 90.6 | 90.6 | 90.7 | 90.8 | 90.9 | 91.0 | 91.0 | 91.0 |
| 91.0 | 91.1 | 91.1 | 91.1 | 91.1 | 91.2 | 91.2 | 91.6 | 91.6 | 91.8 |
| 91.8 | 91.8 | 92.2 | 92.2 | 92.2 | 92.3 | 92.6 | 92.7 | 92.7 | 92.7 |
| 93.0 | 93.2 | 93.3 | 93.3 | 93.3 | 93.4 | 93.7 | 94.2 | 94.2 | 94.4 |
| 96.1 | 96.5 | 98.8 | 100.3 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: construir a distribuição de frequência (com 8 classes) e construir o histograma desses dados de taxa de octanagem. As informações relevantes fornecidas (extraídas da tabela do enunciado) que vou usar são:
- Número de observações (contando os valores na tabela):
. - Menor valor observado:
. - Maior valor observado:
.
Passo 2
Calcular a amplitude total (alcance) dos dados e a largura de classe teórica:
- A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor:
- Com
classes a largura de classe teórica (sem arredondamento) é
Explicação didática:
é a amplitude que cada classe deve ter se quisermos 8 classes de mesma largura. Como não é prático trabalhar com muitas casas decimais, e para garantir que todas as observações fiquem dentro das 8 classes (ou seja, a cobertura total seja suficiente), arredondamos
para cima. Vou usar
porque
e
, então a faixa total coberta pelas 8 classes será suficiente para incluir o maior valor.
Passo 3
Escolher o limite inicial da primeira classe e construir os 8 intervalos de classe com largura
.
- Começo a primeira classe exatamente em
(poderia arredondar para baixo, mas aqui uso o valor exato dado). - As classes serão do tipo “inclusiva à esquerda e exclusiva à direita” (exceto a última que inclui o limite superior) para evitar dupla contagem. Ou seja, cada classe é
, e a última é . - Calculando limites somando
sucessivamente, obtenho as 8 classes:
-
porque . -
porque . -
porque . -
porque . -
porque . -
porque . -
porque . -
porque (aqui incluo o limite superior para garantir que caia na última classe).
Didática rápida sobre escolha de classes: escolhemos classes de igual largura para simplificar o histograma (as barras terão larguras iguais). Arredondar a largura para cima evita que o valor máximo caia fora do último intervalo por erro de arredondamento.
Passo 4
Contar quantos valores da amostra caem em cada classe (tallying). Como os dados estavam ordenados na tabela, conto sequencialmente, atribuindo cada observação ao intervalo apropriado (respeitando a inclusão à esquerda e exclusão à direita). Os resultados da contagem são:
- Classe
: observações. - Classe
: observações. - Classe
: observações. - Classe
: observações. - Classe
: observações. - Classe
: observações. - Classe
: observação. - Classe
: observações.
Verificação de consistência: a soma das frequências é
que coincide com
(boa checagem).
Passo 5
Calcular frequências relativas (proporções) e percentuais e também as frequências acumuladas — isso ajuda a interpretar a distribuição.
- Frequência relativa de uma classe é
. Vou dar aproximações com duas casas decimais percentuais.
Para cada classe:
-
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Frequência acumulada . -
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Acumulada . -
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Acumulada . -
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Acumulada . -
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Acumulada . -
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Acumulada . -
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Acumulada . -
: frequência . Frequência relativa . Percentual . Acumulada .
Também é útil o ponto médio de cada classe (para possíveis gráficos de frequência poligonal):
- Midpoints:
Passo 6
Como desenhar o histograma a partir dessa tabela (instruções passo a passo, para desenhar à mão ou em software):
- No eixo horizontal (eixo
) marque os limites de classe: comece em , depois , , , , , , , . - No eixo vertical (eixo
) marque a frequência (número de observações). Como a maior frequência é , faça a escala vertical pelo menos até . - Para cada classe desenhe um retângulo que se estende horizontalmente do limite inferior ao limite superior da classe; a altura do retângulo é igual à frequência absoluta dessa classe (porque todas as classes têm largura igual). Não deixe espaços entre rectângulos (barras contíguas) porque os dados são contínuos.
- Rotule os eixos: eixo
= “Taxa de octanagem”, eixo = “Frequência (número de observações)”. Se quiser mostrar percentuais, pode rotular o eixo em percentuais usando as frequências relativas multiplicadas por . - Se usar software (por exemplo R ou Excel), escolha bins com os limites especificados acima; no R a função hist() aceita argumentos breaks para forçar esses limites.
Passo 7
Resumo final dos resultados em forma de tabela de distribuição (pronto para consulta rápida) — a tabela abaixo contém: intervalo de classe, frequência absoluta, frequência relativa (proporção) e porcentagem aproximada.
-
: ; ( ). -
: ; ( ). -
: ; ( ). -
: ; ( ). -
: ; ( ). -
: ; ( ). -
: ; ( ). -
: ; ( ).
Resposta
(Ao desenhar o histograma: usar estes limites de classe no eixo
e alturas iguais às frequências acima no eixo
; como todas as classes têm mesma largura, a altura do retângulo é diretamente a frequência.)