O seguinte conjunto de dados representa as “vidas” de 42 baterias de carro da mesma marca e mesmas características, com aproximação até o décimo do ano. As baterias tinham garantias para 3 anos.

Dados:

2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.6 3.4 1.6
3.1 3.3 3.8 3.1 2.9 3.3 3.9 3.1 3.3 3.1
3.7 4.4 3.2 4.4 3.2 4.1 1.9 3.4 4.2 3.5
3.7 2.5 4.3 3.4 3.6 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0
4.7 4.7
(a) Construa a distribuição de frequências.
(b) Construa o histograma correspondente.
(c) Faça o gráfico da frequência relativa acumulada.
(d) Calcule a média aritmética dos dados originais.
(e) Usando a distribuição de frequência conforme obtido em (a), calcule a média novamente. Para tal, considere os pontos médios de cada classe como os valores da variável no cálculo da média.
(f) Obtenha a variância dos dados originais.
(g) Obtenha a variância a partir da distribuição de frequência.

Passo 1

O enunciado fornece as vidas (em anos, com uma casa decimal) de 42 baterias iguais e pede várias análises:
  • (a) construir a distribuição de frequências;
  • (b) construir o histograma correspondente;
  • (c) fazer o gráfico da frequência relativa acumulada;
  • (d) calcular a média aritmética dos dados originais;
  • (e) recalcular a média usando a distribuição de frequência (substituindo valores por pontos médios das classes);
  • (f) obter a variância dos dados originais;
  • (g) obter a variância a partir da distribuição de frequência.
Os dados (peguei-os do enunciado) são, em anos:
2{,}2,\;4{,}1,\;3{,}5,\;4{,}5,\;3{,}2,\;3{,}7,\;3{,}0,\;2{,}6,\;3{,}4,\;1{,}6,
3{,}1,\;3{,}3,\;3{,}8,\;3{,}1,\;2{,}9,\;3{,}3,\;3{,}9,\;3{,}1,\;3{,}3,\;3{,}1,
3{,}7,\;4{,}4,\;3{,}2,\;4{,}4,\;3{,}2,\;4{,}1,\;1{,}9,\;3{,}4,\;4{,}2,\;3{,}5,
3{,}7,\;2{,}5,\;4{,}3,\;3{,}4,\;3{,}6,\;3{,}8,\;3{,}2,\;2{,}6,\;3{,}9,\;3{,}0,
4{,}7,\;4{,}7.
Número total de observações: n=42.
Não começo a resolver aqui; só organizei o que o problema pede e indiquei os dados.

Passo 2

Escolher classes para a distribuição de frequência (explicando por que):
  • O menor valor observado é \,1{,}6 e o maior é \,4{,}7. A amplitude total é \,4{,}7-1{,}6=3{,}1.
  • Uma escolha prática é usar classes de largura \,0{,}5 (que dá um número de classes manejável). Assim tomo as classes com extremidades:
    [1{,}5,2{,}0),\;[2{,}0,2{,}5),\;[2{,}5,3{,}0),\;[3{,}0,3{,}5),\;[3{,}5,4{,}0),\;[4{,}0,4{,}5),\;[4{,}5,5{,}0).
  • Convenção usada: cada classe é fechada à esquerda e aberta à direita (isto é, a\le x< b), exceto a última que contém valores até 5{,}0. Essa convenção evita empates nas fronteiras.
Agora defino os pontos médios m_j de cada classe (serão úteis depois):
m_1=1{,}75,\; m_2=2{,}25,\; m_3=2{,}75,\; m_4=3{,}25,\; m_5=3{,}75,\; m_6=4{,}25,\; m_7=4{,}75.

Passo 3

Contagem das observações por classe (faço a contagem explicitamente, itemizando):
  • Classe [1{,}5,2{,}0): valores 1{,}6,\;1{,}9 → frequência absoluta f_1=2.
  • Classe [2{,}0,2{,}5): valor 2{,}2 f_2=1.
  • Classe [2{,}5,3{,}0): valores 2{,}6,\;2{,}9,\;2{,}5,\;2{,}6 f_3=4.
  • Classe [3{,}0,3{,}5): valores 3{,}0,\;3{,}4,\;3{,}1,\;3{,}3,\;3{,}1,\;3{,}3,\;3{,}1,\;3{,}3,\;3{,}1,\;3{,}2,\;3{,}2,\;3{,}4,\;3{,}5,\;3{,}4,\;3{,}2,\;3{,}0 f_4=16. (contei todos os 3{,}0 a 3{,}4 que caem neste intervalo.)
  • Classe [3{,}5,4{,}0): valores 3{,}5,\;3{,}7,\;3{,}8,\;3{,}7,\;3{,}6,\;3{,}8,\;3{,}9,\;3{,}7,\;3{,}9,\;3{,}5 f_5=10.
  • Classe [4{,}0,4{,}5): valores 4{,}1,\;4{,}4,\;4{,}4,\;4{,}1,\;4{,}2,\;4{,}3 f_6=6.
  • Classe [4{,}5,5{,}0): valores 4{,}5,\;4{,}7,\;4{,}7 f_7=3.
Verificação: f_1+\dots+f_7 = 2+1+4+16+10+6+3 = 42 = n. Está coerente.

Passo 4

Calcular frequências relativas e acumuladas (explico as fórmulas):
  • Frequência relativa da classe j: \displaystyle h_j=\frac{f_j}{n}.
  • Frequência relativa acumulada até a classe k: \displaystyle H_k=\sum_{j=1}^{k} h_j.
Calculo numérico:
\begin{array}{lcl} f_1=2,\; h_1=\dfrac{2}{42}\approx 0{,}04762,\; H_1=0{,}04762,\\[4pt] f_2=1,\; h_2=\dfrac{1}{42}\approx 0{,}02381,\; H_2\approx 0{,}07143,\\[4pt] f_3=4,\; h_3=\dfrac{4}{42}\approx 0{,}09524,\; H_3\approx 0{,}16667,\\[4pt] f_4=16,\; h_4=\dfrac{16}{42}\approx 0{,}38095,\; H_4\approx 0{,}54762,\\[4pt] f_5=10,\; h_5=\dfrac{10}{42}\approx 0{,}23810,\; H_5\approx 0{,}78571,\\[4pt] f_6=6,\; h_6=\dfrac{6}{42}\approx 0{,}14286,\; H_6\approx 0{,}92857,\\[4pt] f_7=3,\; h_7=\dfrac{3}{42}\approx 0{,}07143,\; H_7=1{,}00000. \end{array}]

Passo 5

Como construir o histograma e a ogiva (frequência relativa acumulada) a partir da tabela:
  • Histograma: desenhar no eixo horizontal as classes com largura \,0{,}5 e, para cada classe, desenhar uma barra cuja altura seja a frequência absoluta f_j (ou a densidade f_j/\text{largura} se quiser comparar classes de larguras diferentes). Aqui as larguras são todas iguais, então basta usar as alturas f_j: \text{alturas} = (2,\;1,\;4,\;16,\;10,\;6,\;3).
  • Ogiva (gráfico da frequência relativa acumulada): marcar no eixo das abscissas os limites superiores de cada classe (2{,}0,\;2{,}5,\;3{,}0,\;3{,}5,\;4{,}0,\;4{,}5,\;5{,}0) e no eixo das ordenadas plotar os valores H_k correspondentes e ligar por segmentos (ou fazer um polígono). Os pares são:
    (2{,}0,\;0{,}04762),\;(2{,}5,\;0{,}07143),\;(3{,}0,\;0{,}16667),\;(3{,}5,\;0{,}54762),\;(4{,}0,\;0{,}78571),\;(4{,}5,\;0{,}92857),\;(5{,}0,\;1{,}00000).
(Na prova: desenhe barras alinhadas com as classes para o histograma e conecte por segmentos os pontos acima para a ogiva.)

Passo 6

Cálculo da média aritmética dos dados originais (explicando a fórmula):
  • Fórmula da média amostral (aritmética): \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde x_i são as observações e n é o número total.
  • Somei todos os valores (peguei-os do enunciado) e obtive \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i = 144{,}1.
  • Portanto
\bar{x}=\frac{144{,}1}{42}\approx 3{,}430952\approx 3{,}431.
Interpretação: a vida média observada das baterias é aproximadamente \,3{,}431 anos.

Passo 7

Cálculo da média usando a distribuição de frequência (substituindo por pontos médios):
  • Fórmula para média a partir de classes: \displaystyle \bar{x}_{\text{gr}}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k} f_j m_j, onde f_j é a frequência da classe j e m_j o ponto médio da classe.
  • Já calculei os m_j e as f_j. Agora computei \sum f_j m_j:
\sum_{j=1}^{7} f_j m_j = 2\cdot1{,}75 + 1\cdot2{,}25 + 4\cdot2{,}75 + 16\cdot3{,}25 + 10\cdot3{,}75 + 6\cdot4{,}25 + 3\cdot4{,}75 = 146{,}0.
  • Logo
\bar{x}_{\text{gr}}=\frac{146{,}0}{42}\approx 3{,}476190\approx 3{,}476.
Comentário: a média agrupada é uma aproximação da média real; aqui dá \,3{,}476, um pouco maior que a média exata 3{,}431.

Passo 8

Cálculo da variância dos dados originais (explicando fórmulas e escolha):
  • Vou calcular a variância amostral (na maioria das análises de dados usa-se o denominador n-1 para obter estimador não viesado). A fórmula é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
que é equivalente numericamente a
s^2=\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{\big(\sum_{i=1}^{n} x_i\big)^2}{n}\Bigg).
  • Já tenho \sum x_i =144{,}1. Calculei \sum x_i^2 = 514{,}67 (somei os quadrados de todas as observações).
  • Portanto o somatório corrigido (soma de quadrados) é
\mathrm{SS}=\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} = 514{,}67 - \frac{(144{,}1)^2}{42}.
  • Calculei \dfrac{(144{,}1)^2}{42}=\dfrac{20\,764{,}81}{42}\approx 494{,}400238. Assim
\mathrm{SS}\approx 514{,}67 - 494{,}400238 \approx 20{,}269762.
  • Finalmente
s^2=\frac{\mathrm{SS}}{n-1}=\frac{20{,}269762}{41}\approx 0{,}494627\approx 0{,}4946.
  • Desvio-padrão amostral s\approx\sqrt{0{,}494627}\approx 0{,}7033.

Passo 9

Cálculo da variância a partir da distribuição de frequência (usando os pontos médios):
  • Fórmula análoga para dados agrupados (usando pontos médios m_j) é
s^2_{\text{gr}}=\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum_{j=1}^{k} f_j m_j^2 - \frac{\big(\sum_{j=1}^{k} f_j m_j\big)^2}{n}\Bigg).
  • Já calculei \sum f_j m_j = 146{,}0. Agora calculei \sum f_j m_j^2. Os cálculos foram:
\sum f_j m_j^2 = 2(1{,}75^2)+1(2{,}25^2)+4(2{,}75^2)+16(3{,}25^2)+10(3{,}75^2)+6(4{,}25^2)+3(4{,}75^2)=527{,}125.
  • Então
\mathrm{SS}_{\text{gr}} = 527{,}125 - \frac{(146{,}0)^2}{42} = 527{,}125 - \frac{21\,316}{42}\approx 527{,}125 - 507{,}5238095 \approx 19{,}6011905.
  • Dividindo por n-1=41:
s^2_{\text{gr}}=\frac{19{,}6011905}{41}\approx 0{,}478077\approx 0{,}4781.
  • Desvio-padrão agrupado s_{\text{gr}}\approx\sqrt{0{,}478077}\approx 0{,}69145.
Observação final: a variância agrupada é uma aproximação (usa pontos médios) e por isso é levemente diferente da variância exata calculada a partir dos dados originais.

Resposta

(a) Tabela de frequências (classes, f_j, h_j, H_j):
[1{,}5,2{,}0): f_1=2,\;h_1=0{,}04762,\;H_1=0{,}04762
[2{,}0,2{,}5): f_2=1,\;h_2=0{,}02381,\;H_2=0{,}07143
[2{,}5,3{,}0): f_3=4,\;h_3=0{,}09524,\;H_3=0{,}16667
[3{,}0,3{,}5): f_4=16,\;h_4=0{,}38095,\;H_4=0{,}54762
[3{,}5,4{,}0): f_5=10,\;h_5=0{,}23810,\;H_5=0{,}78571
[4{,}0,4{,}5): f_6=6,\;h_6=0{,}14286,\;H_6=0{,}92857
[4{,}5,5{,}0): f_7=3,\;h_7=0{,}07143,\;H_7=1{,}00000
(b) Histograma: desenhar barras sobre as classes [1{,}5,2{,}0),\dots,[4{,}5,5{,}0) com alturas iguais às frequências (2,\;1,\;4,\;16,\;10,\;6,\;3) (largura de cada classe =0{,}5).
(c) Gráfico da frequência relativa acumulada (ogiva): pontos a plotar (limite superior da classe, H_k):
(2{,}0,\;0{,}04762),\;(2{,}5,\;0{,}07143),\;(3{,}0,\;0{,}16667),\;(3{,}5,\;0{,}54762),\;(4{,}0,\;0{,}78571),\;(4{,}5,\;0{,}92857),\;(5{,}0,\;1{,}00000).
(d) Média aritmética dos dados originais: \displaystyle \bar{x}=\frac{144{,}1}{42}\approx 3{,}430952\approx 3{,}431.
(e) Média usando a distribuição de frequência (pontos médios): \displaystyle \bar{x}_{\text{gr}}=\frac{146{,}0}{42}\approx 3{,}476190\approx 3{,}476.
(f) Variância dos dados originais (amostral, denominador n-1): \displaystyle s^2\approx 0{,}494627\approx 0{,}4946.
(g) Variância a partir da distribuição de frequência (amostral, usando pontos médios): \displaystyle s^2_{\text{gr}}\approx 0{,}478077\approx 0{,}4781.

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