O seguinte conjunto de dados representa as “vidas” de 42 baterias de carro da mesma marca e mesmas características, com aproximação até o décimo do ano. As baterias tinham garantias para 3 anos.
Dados:
2.2
4.1
3.5
4.5
3.2
3.7
3.0
2.6
3.4
1.6
3.1
3.3
3.8
3.1
2.9
3.3
3.9
3.1
3.3
3.1
3.7
4.4
3.2
4.4
3.2
4.1
1.9
3.4
4.2
3.5
3.7
2.5
4.3
3.4
3.6
3.8
3.2
2.6
3.9
3.0
4.7
4.7
(a) Construa a distribuição de frequências.
(b) Construa o histograma correspondente.
(c) Faça o gráfico da frequência relativa acumulada.
(d) Calcule a média aritmética dos dados originais.
(e) Usando a distribuição de frequência conforme obtido em (a), calcule a média novamente. Para tal, considere os pontos médios de cada classe como os valores da variável no cálculo da média.
(f) Obtenha a variância dos dados originais.
(g) Obtenha a variância a partir da distribuição de frequência.
| 2.2 | 4.1 | 3.5 | 4.5 | 3.2 | 3.7 | 3.0 | 2.6 | 3.4 | 1.6 |
| 3.1 | 3.3 | 3.8 | 3.1 | 2.9 | 3.3 | 3.9 | 3.1 | 3.3 | 3.1 |
| 3.7 | 4.4 | 3.2 | 4.4 | 3.2 | 4.1 | 1.9 | 3.4 | 4.2 | 3.5 |
| 3.7 | 2.5 | 4.3 | 3.4 | 3.6 | 3.8 | 3.2 | 2.6 | 3.9 | 3.0 |
| 4.7 | 4.7 |
(b) Construa o histograma correspondente.
(c) Faça o gráfico da frequência relativa acumulada.
(d) Calcule a média aritmética dos dados originais.
(e) Usando a distribuição de frequência conforme obtido em (a), calcule a média novamente. Para tal, considere os pontos médios de cada classe como os valores da variável no cálculo da média.
(f) Obtenha a variância dos dados originais.
(g) Obtenha a variância a partir da distribuição de frequência.
Passo 1
O enunciado fornece as vidas (em anos, com uma casa decimal) de
baterias iguais e pede várias análises:
- (a) construir a distribuição de frequências;
- (b) construir o histograma correspondente;
- (c) fazer o gráfico da frequência relativa acumulada;
- (d) calcular a média aritmética dos dados originais;
- (e) recalcular a média usando a distribuição de frequência (substituindo valores por pontos médios das classes);
- (f) obter a variância dos dados originais;
- (g) obter a variância a partir da distribuição de frequência.
Os dados (peguei-os do enunciado) são, em anos:
Número total de observações:
.
Não começo a resolver aqui; só organizei o que o problema pede e indiquei os dados.
Não começo a resolver aqui; só organizei o que o problema pede e indiquei os dados.
Passo 2
Escolher classes para a distribuição de frequência (explicando por que):
- O menor valor observado é
e o maior é . A amplitude total é . - Uma escolha prática é usar classes de largura
(que dá um número de classes manejável). Assim tomo as classes com extremidades:
. - Convenção usada: cada classe é fechada à esquerda e aberta à direita (isto é,
), exceto a última que contém valores até . Essa convenção evita empates nas fronteiras.
Agora defino os pontos médios
de cada classe (serão úteis depois):
Passo 3
Contagem das observações por classe (faço a contagem explicitamente, itemizando):
- Classe
: valores → frequência absoluta . - Classe
: valor → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . (contei todos os a que caem neste intervalo.) - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → .
Verificação:
. Está coerente.
Passo 4
Calcular frequências relativas e acumuladas (explico as fórmulas):
- Frequência relativa da classe
: . - Frequência relativa acumulada até a classe
: .
Calculo numérico:
Passo 5
Como construir o histograma e a ogiva (frequência relativa acumulada) a partir da tabela:
- Histograma: desenhar no eixo horizontal as classes com largura
e, para cada classe, desenhar uma barra cuja altura seja a frequência absoluta (ou a densidade se quiser comparar classes de larguras diferentes). Aqui as larguras são todas iguais, então basta usar as alturas : - Ogiva (gráfico da frequência relativa acumulada): marcar no eixo das abscissas os limites superiores de cada classe
e no eixo das ordenadas plotar os valores correspondentes e ligar por segmentos (ou fazer um polígono). Os pares são:
(Na prova: desenhe barras alinhadas com as classes para o histograma e conecte por segmentos os pontos acima para a ogiva.)
Passo 6
Cálculo da média aritmética dos dados originais (explicando a fórmula):
- Fórmula da média amostral (aritmética):
, onde são as observações e é o número total. - Somei todos os valores (peguei-os do enunciado) e obtive
- Portanto
Interpretação: a vida média observada das baterias é aproximadamente
anos.
Passo 7
Cálculo da média usando a distribuição de frequência (substituindo por pontos médios):
- Fórmula para média a partir de classes:
, onde é a frequência da classe e o ponto médio da classe. - Já calculei os
e as . Agora computei :
- Logo
Comentário: a média agrupada é uma aproximação da média real; aqui dá
, um pouco maior que a média exata
.
Passo 8
Cálculo da variância dos dados originais (explicando fórmulas e escolha):
- Vou calcular a variância amostral (na maioria das análises de dados usa-se o denominador
para obter estimador não viesado). A fórmula é
que é equivalente numericamente a
- Já tenho
. Calculei (somei os quadrados de todas as observações). - Portanto o somatório corrigido (soma de quadrados) é
- Calculei
. Assim
- Finalmente
- Desvio-padrão amostral
.
Passo 9
Cálculo da variância a partir da distribuição de frequência (usando os pontos médios):
- Fórmula análoga para dados agrupados (usando pontos médios
) é
- Já calculei
. Agora calculei . Os cálculos foram:
- Então
- Dividindo por
:
- Desvio-padrão agrupado
.
Observação final: a variância agrupada é uma aproximação (usa pontos médios) e por isso é levemente diferente da variância exata calculada a partir dos dados originais.
Resposta
(a) Tabela de frequências (classes,
,
,
):
:
:
:
:
:
:
:
(b) Histograma: desenhar barras sobre as classes
com alturas iguais às frequências
(largura de cada classe
).
(c) Gráfico da frequência relativa acumulada (ogiva): pontos a plotar (limite superior da classe,
):
.
(d) Média aritmética dos dados originais:
(e) Média usando a distribuição de frequência (pontos médios):
(f) Variância dos dados originais (amostral, denominador
):
(g) Variância a partir da distribuição de frequência (amostral, usando pontos médios):