É convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer estudar a convergência da série sumn=2^infty lnl(1+1/n^pr) para p>0. O conteúdo principal envolve séries infinitas, expansão de Taylor para ln(1+x) e teste de comparação.

Passo 2

Para usar a expansão de Taylor de ln(1+x), lembramos que para xto0 vale ln(1+x)=x-tfracx^22+cdots. Aí, tomando x=1/n^p, quando ntoinfty temos
lnl(1+1n^pr)sim1n^p,;

Passo 3

como a série original tem termos assintoticamente iguais a 1/n^p, podemos usar o teste de comparação com a p-série sum 1/n^p.
Sabemos que a p-série sumn=2^infty 1/n^p converge se e somente se p>1 e diverge para 0. A partir disso, transferimos esse resultado para a série original.

Resposta

A série converge se p>1 e diverge para 0.

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