1
Calcule
, em seguida aplique o limite com
indo ao infinito e deduza o valor de
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de uma função gaussiana sobre o disco de raio
, depois tomar o limite
e, a partir disso, deduzir o valor da integral de Gauss unidimensional
. Vamos usar integrais duplas em coordenadas polares e a fatoração da integral dupla no plano.
Passo 2
Para aplicar coordenadas polares, fazemos as trocas
,
e
. Assim
$$\iint_{B(0,r)}e{-(x2+y^2)},dA=
\int_{0}{2\pi}\int_{0}{r}e{-\rho2},\rho,d\rho,d\theta.$$
Passo 3
Primeiro integramos em
: isso gera um fator
. Em seguida avaliamos a integral radial por substituição
,
:
Passo 4
Logo a integral dupla vale
Passo 5
Tomando o limite
obtemos
Passo 6
Como essa integral dupla se fatoriza em duas integrais unidimensionais idênticas, temos
Passo 7
e portanto