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Calcule integral duplaB(0, r) e^-(x^2+y^2) d A, em seguida aplique o limite com r indo ao infinito e deduza o valor de integralR e^-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de uma função gaussiana sobre o disco de raio r, depois tomar o limite rtoinfty e, a partir disso, deduzir o valor da integral de Gauss unidimensional integral Re^-x^2,dx. Vamos usar integrais duplas em coordenadas polares e a fatoração da integral dupla no plano.

Passo 2

Para aplicar coordenadas polares, fazemos as trocas x=rhocostheta, y=rhosintheta e dA=rho,drho,dtheta. Assim
$$\iint_{B(0,r)}e{-(x2+y^2)},dA=
\int_{0}{2\pi}\int_{0}{r}e{-\rho2},\rho,d\rho,d\theta.$$

Passo 3

Primeiro integramos em theta: isso gera um fator 2pi. Em seguida avaliamos a integral radial por substituição u=rho^2, du=2rho,drho:
integral0^re^-rho^2,rho,drho=12integral0^r^2e^-u,du=12l(1-e^-r^2r)

Passo 4

Logo a integral dupla vale
integral duplaB(0,r)e^-(x^2+y^2),dA=2picdot12l(1-e^-r^2r)=pil(1-e^-r^2r)

Passo 5

Tomando o limite rtoinfty obtemos
integral dupla R^2e^-(x^2+y^2),dA=limrtoinftypil(1-e^-r^2r)=pi

Passo 6

Como essa integral dupla se fatoriza em duas integrais unidimensionais idênticas, temos
l(integral Re^-x^2,dxr)^2=pi,

Passo 7

e portanto
integral Re^-x^2,dx=raizpi

Resposta

integral Re^-x^2,dx=raizpi.

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