Calcule a solução em serie centrada no ponto ordinârio a =0 de cada uma dae EDOE abaixo:
y^prime prime+x^2 y^prime+x y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial y'' + x^2 y' + x y = 0 usando uma série de potências centrada em $ a = 0 $. Basicamente, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $. Para isso, precisamos conhecer o método de séries de potências e como derivar esses termos.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências ao redor de $ x = 0 $:
y(x)
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $ necessárias para a equação. A primeira derivada é:
y(x)
E a segunda derivada é:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
y(x)

Passo 5

Vamos alinhar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de $ x $. Fazendo isso, ficamos com:
x

Passo 6

Para facilitar, ajustamos os índices das últimas duas somas:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=1^infty (n-1) an-1 x^n + sumn=1^infty an-1 x^n = 0

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ x^n $ a zero, porque a soma total deve ser igual a zero para todo $ x $:
x^n
Isso simplifica para:
x

Passo 8

Vamos resolver a equação para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_{n+2} $:
an+2
Simplificando, temos:
an+2 = -(n + 1)(n+2)(n+1) an-1

Passo 9

Com essa relação de recorrência, podemos calcular os coeficientes $ a_n $ de forma iterativa, começando pelos primeiros termos. Geralmente, definimos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias (condições iniciais), e os demais coeficientes são calculados usando a relação acima.

Resposta

A solução em série centrada em $ a = 0 $ para a equação diferencial dada é:
a = 0
onde os coeficientes $ a_n $ são determinados pela relação de recorrência:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
com $ a_0 $ e $ a_1 $ definidos pelas condições iniciais.

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