Calcule a solução em serie centrada no ponto ordinârio a
de cada uma dae EDOE abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando uma série de potências centrada em $ a = 0 $. Basicamente, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $. Para isso, precisamos conhecer o método de séries de potências e como derivar esses termos.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências ao redor de $ x = 0 $:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $ necessárias para a equação. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
Passo 5
Vamos alinhar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de $ x $. Fazendo isso, ficamos com:
Passo 6
Para facilitar, ajustamos os índices das últimas duas somas:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ x^n $ a zero, porque a soma total deve ser igual a zero para todo $ x $:
Isso simplifica para:
Passo 8
Vamos resolver a equação para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_{n+2} $:
Simplificando, temos:
Passo 9
Com essa relação de recorrência, podemos calcular os coeficientes $ a_n $ de forma iterativa, começando pelos primeiros termos. Geralmente, definimos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias (condições iniciais), e os demais coeficientes são calculados usando a relação acima.
Resposta
A solução em série centrada em $ a = 0 $ para a equação diferencial dada é:
onde os coeficientes $ a_n $ são determinados pela relação de recorrência:
com $ a_0 $ e $ a_1 $ definidos pelas condições iniciais.