É convergente ou divergente? Justifique.
sumn=1^infty n-1n^2+n

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a série sumn=1^infty n-1n^2+n. Vamos usar decomposição em frações parciais e soma telescópica para investigar convergência.

Passo 2

Decomposição em frações parciais: escrevemos
n-1n^2+n=n-1n(n+1)=An+Bn+1

Passo 3

Igualando numeradores, obtemos
A(n+1)+Bn=n-1implies A+B=1 e A=-1implies A=-1,;B=2

Passo 4

Logo o termo geral vira
n-1n^2+n=-1n+2n+1

Passo 5

Somando os primeiros N termos:
SN=sumn=1^Nl(-1n+2n+1r)=-sumn=1^N1n+2sumn=1^N1n+1

Passo 6

Como
sumn=1^N1n+1=sumk=2^N+11k=HN+1-1,
temos
SN=-HN+2(HN+1-1)=-HN+2HN+1-2

Passo 7

Usando HN+1=HN+tfrac1N+1,
SN=HN+2N+1-2

Passo 8

Sabendo que HNtoinfty quando Ntoinfty, concluímos que SNtoinfty. Portanto não há convergência.

Resposta

Divergente.

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