Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sin (4 x) sin (5 x) d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral indefinida de sin(4x) sin(5x) , dx. Vamos usar trigonometria, especificamente a identidade do produto de senos, pra simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade que transforma o produto de dois senos em uma soma de cossenos. A fórmula é:
sin(a) sin(b) = 12 [cos(a - b) - cos(a + b)]
Aplicando essa identidade com a = 4x e b = 5x, temos:
sin(4x) sin(5x) = 12 [cos(4x - 5x) - cos(4x + 5x)] = 12 [cos(-x) - cos(9x)]
Lembrando que cos(-x) = cos(x), simplificamos para:
sin(4x) sin(5x) = 12 [cos(x) - cos(9x)]

Passo 3

Agora, substituímos a expressão original pela que acabamos de encontrar na integral:
integral sin(4x) sin(5x) , dx = 12 integral [cos(x) - cos(9x)] , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de cos(x) é sin(x).
  2. A integral de cos(9x) é 19 sin(9x).
Então:
12 ( sin(x) - 19 sin(9x) ) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin(4x) sin(5x) , dx = 12 sin(x) - 118 sin(9x) + C

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