Calcule a integral
em que
é o segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que envolve cálculo de linha. O enunciado pede para calcular a integral de
ao longo do segmento de reta
que liga o ponto
ao ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta
, ou seja, expressar
e
em função de um parâmetro
, que vai variar de um valor inicial a um final. Depois, substituímos essas expressões na integral e calculamos.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de
a
. A parametrização de uma reta entre dois pontos pode ser feita assim:
onde
varia de 0 a 1, $ (x_0, y_0) $ é o ponto inicial e $ (x_1, y_1) $ é o ponto final.
Aplicando isso aos nossos pontos
e
:
Passo 3
Agora, vamos precisar das derivadas dessas funções em relação a
para substituir
e
na integral.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na integral original. A integral fica assim:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Agora, a integral fica:
Simplificando o numerador:
Então, a integral agora é:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 17:
Passo 7
Reconhecemos que
, onde
é a constante de integração.
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Para finalizar, podemos deixar a resposta em termos de arctangente ou calcular numericamente se desejado. Porém, geralmente mantemos em termos de funções trigonométricas inversas.
Resposta
A integral vale