Calcule a integral
l integralC(-yx^2+4 y^2) d x+(xx^2+4 y^2) d y (1,0)
em que C é o segmento de reta que liga o ponto (1,0) ao ponto (0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve cálculo de linha. O enunciado pede para calcular a integral de (-yx^2+4 y^2) dx + (xx^2+4 y^2) dy ao longo do segmento de reta C que liga o ponto (1,0) ao ponto (0,2).
Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta C, ou seja, expressar x e y em função de um parâmetro t, que vai variar de um valor inicial a um final. Depois, substituímos essas expressões na integral e calculamos.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de (1,0) a (0,2). A parametrização de uma reta entre dois pontos pode ser feita assim:
x(t) = x0 + (x1 - x0) t y(t) = y0 + (y1 - y0) t
onde t varia de 0 a 1, $ (x_0, y_0) $ é o ponto inicial e $ (x_1, y_1) $ é o ponto final.
Aplicando isso aos nossos pontos (x0, y0) e (x1, y1) :
(1,0)

Passo 3

Agora, vamos precisar das derivadas dessas funções em relação a t para substituir dx e dy na integral.
Calculando as derivadas:
dxdt = -1 dydt = 2

Passo 4

Vamos substituir x(t), y(t), dx e dy na integral original. A integral fica assim:
integralt=0^t=1 ( -y(t)x(t)^2 + 4 y(t)^2 cdot dxdt + x(t)x(t)^2 + 4 y(t)^2 cdot dydt ) dt
Substituindo as expressões que encontramos:
integral0^1 ( -2t(1 - t)^2 + 4 (2t)^2 cdot (-1) + 1 - t(1 - t)^2 + 4 (2t)^2 cdot 2 ) dt

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
(1 - t)^2 + 4 (2t)^2 = (1 - 2t + t^2) + 4 cdot 4t^2 = 1 - 2t + t^2 + 16t^2 = 1 - 2t + 17t^2
Agora, a integral fica:
integral0^1 ( 2t1 - 2t + 17t^2 + 2(1 - t)1 - 2t + 17t^2 ) dt = integral0^1 2t + 2(1 - t)1 - 2t + 17t^2 dt
Simplificando o numerador:
2t + 2 - 2t = 2
Então, a integral agora é:
integral0^1 21 - 2t + 17t^2 dt

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral 217t^2 - 2t + 1 dt. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
17t^2 - 2t + 1 = 17(t^2 - 217t) + 1 = 17(t^2 - 217t + (117)^2) - 17(117)^2 + 1 = 17(t - 117)^2 + 1617
Então, a integral fica:
integral 217(t - 117)^2 + 1617 dt = integral 217(t - 117)^2 + 1617 dt
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 17:
integral 217[(t - 117)^2 + 1617^2] dt = 217 integral 1(t - 117)^2 + (417)^2 dt

Passo 7

Reconhecemos que integral 1(t - a)^2 + b^2 dt = 1b arctan(t - ab) + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando isso à nossa integral:
217 cdot 1417 arctan(t - 117417) + C = 217 cdot 174 arctan(17t - 14) + C = 24 arctan(17t - 14) + C = 12 arctan(17t - 14) + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de t = 0 a t = 1:
12 [ arctan(17 cdot 1 - 14) - arctan(17 cdot 0 - 14) ] = 12 [ arctan(164) - arctan(-14) ] = 12 [ arctan(4) - arctan(-14) ]
Sabemos que arctan(-x) = -arctan(x), então:
12 [ arctan(4) + arctan(14) ]

Passo 9

Para finalizar, podemos deixar a resposta em termos de arctangente ou calcular numericamente se desejado. Porém, geralmente mantemos em termos de funções trigonométricas inversas.

Resposta

A integral vale
12 [ arctan(4) + arctan(14) ]

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