O conversor CC-CC bidirecional mostrado na fig. 5 faz a interface de uma bateria de
com um banco de baterias de
. As tensões internas são
e
. Ambas as fontes de bateria possuem uma resistência elétrica interna de
cada uma. Em regime permanente CC, calcule a taxa de ciclo útil
do estágio de potência se
A potência elétrica que sai dos terminais da bateria de baixa tensão elétrca é de 140 W .
A potência elétrica que sai dos terminais da bateria de baixa tensão elétrca é de 140 W .
Passo 1
O enunciado pede: calcular a taxa de ciclo útil
do estágio de potência do conversor CC-CC bidirecional, em regime permanente CC, sabendo que a potência elétrica que sai dos terminais da bateria de baixa tensão é
.
Dados fornecidos no enunciado:
Potência na bateria de baixa tensão (nos seus terminais):
.
Observação importante: o enunciado refere-se explicitamente ao “conversor CC-CC bidirecional mostrado na fig. 5”. A topologia e as ligações mostradas nessa figura (por exemplo: conversor tipo buck, boost, buck-boost, conversor com transformador, se a medida de tensões é em terminais das baterias, etc.) são determinantes para obter a relação entre tensões e a taxa de ciclo
. A figura 5 não foi fornecida aqui.
Passo 2
Por que a figura (topologia) é necessária? Vou explicar de forma didática e com calma para você entender o porquê.
Um conversor CC-CC ideal relaciona a tensão de entrada
com a tensão de saída
por uma fórmula que depende da topologia e do modo de operação (por exemplo, buck, boost, buck–boost, full-bridge com transformador, etc.). Exemplos clássicos — anote bem as fórmulas e o que cada variável significa:
- Conversor buck (redução de tensão, ideal, regime contínuo):
onde
é a razão cíclica (duty cycle) do interruptor principal. Aqui
é a tensão no lado de entrada do conversor e
a tensão no lado de saída.
- Conversor boost (elevação de tensão, ideal, regime contínuo):
- Conversor buck–boost (pode inverter ou não dependendo da topologia):
Em chamadas mais complexas (ex.: conversor bidirecional com ponte completa e indutor comum), as relações podem ser equivalentes a uma das acima em cada sentido de operação, mas dependem da forma como as chaves são acionadas (ex.: modo de step-up ou step-down). Portanto, sem saber qual topologia exatamente está na fig. 5 não há como escrever a equação que liga
às tensões das baterias.
Passo 3
Modelo elétrico das baterias e como tirar informações úteis do dado de potência — aula prática que você pode usar na prova.
Cada bateria é modelada por uma fem (ou tensão interna)
em série com uma resistência interna
. Se a bateria entrega corrente
para a carga/conversor (corrente positiva saindo do terminal positivo da bateria), a tensão nos terminais da bateria é
A potência elétrica que sai dos terminais (potência terminal) é
Note que esta é uma equação quadrática em
. Se você conhece
,
e
, pode encontrar
resolvendo:
A solução (fórmula quadrática) é
Explicação das variáveis:
-
é a fem interna (em volts); -
é a resistência interna (em ohms); -
é a corrente de saída da bateria (em ampères); -
é a potência medida nos terminais da bateria (em watts).
Observações importantes sobre essa equação:
- O discriminante
deve ser não negativo para existirem soluções reais. Isso dá uma condição máxima de potência que a bateria pode entregar sem que a equação deixe de ter solução real. - A equação pode produzir duas soluções positivas para
. Essas duas soluções correspondem a dois pontos de operação distintos: um com corrente relativamente pequena e tensão terminal próxima de (alta tensão terminal, baixa corrente), e outro com corrente grande e tensão terminal baixa. Qual dos dois é físicamente válido depende do restante do circuito (no nosso caso, do conversor). Por isso precisamos da topologia: o conversor, através do seu comportamento em regime permanente, fixa a relação entre tensão terminal do lado baixo e do lado alto, e portanto seleciona qual solução de é a consistente.
Passo 4
Aplicando o passo anterior ao dado concreto — sem decidir qual raiz é a física, mostro como obter as correntes e tensões terminais da bateria de baixa tensão a partir de
.
Usando
,
e
, a equação para
é
Dividindo por
para simplificar:
A solução pela fórmula quadrática:
Calculando numericamente (apenas para ver as ordens de grandeza; em prova você pode estimar ou calcular):
logo as duas soluções são
Para essas correntes, as tensões terminais seriam
Verificação rápida:
e
. Ambas são soluções matemáticas possíveis. Qual delas se realiza depende da tensão que o conversor impuser ao terminal da bateria de baixa tensão — e isso é função direta da topologia e de
.
Passo 5
Como se obteria
quando a topologia estivesse disponível — procedimento passo a passo que você deve aplicar na prova:
-
Identificar na figura qual lado é entrada e qual é saída para o modo considerado (baixa tensão para alta tensão, ou vice-versa) e qual é a equação ideal do conversor que liga
e . Por exemplo: - Se o conversor atua como buck do lado alto para o lado baixo, usar
. - Se atua como boost do lado baixo para o lado alto, usar
.
(Sempre escreva claramente o que cada tensão representa.)
- Se o conversor atua como buck do lado alto para o lado baixo, usar
-
A partir do valor de potência nos terminais da bateria baixa (aqui
) resolver a equação quadrática para obter as possíveis correntes e, com isso, as tensões terminais correspondentes . -
Para cada par
verificar se existe um que satisfaz a relação ideal do conversor com a tensão do outro lado. Por exemplo, se o outro lado (banco de 36/42 V) tem terminal e se a equação ideal do conversor for (onde é a função dependente de ), então impor
- Usar balanço de potência (se o conversor for ideal e sem perdas,
; se houver perdas, elas devem ser incluídas) para relacionar e . Em particular, com conversor ideal e potência fluindo do lado 2 para lado 1:
- Resolver o sistema de equações formado (equação do conversor + leis das baterias + balanço de potência) para obter
. Em muitos casos isso reduz a uma equação que se resolve numericamente ou analiticamente dependendo das formas.
Passo 6
Conclusão prática e o que falta para chegar à resposta numérica direta: sem a figura 5 não podemos saber qual é a função
que relaciona as tensões e, portanto, não é possível encontrar numericamentes
. Eu já te mostrei como obter as correntes possíveis do lado baixo a partir dos
(duas soluções), e mostrei o procedimento completo que você deve executar assim que souber a topologia mostrada na figura 5. Isso é exatamente o que você faria na prova: primeiro calcular
e
a partir da potência dada, depois usar a relação do conversor para achar
.
Se você quiser, posso:
- aplicar este procedimento a uma topologia específica (por exemplo: assumir que o conversor é um boost ideal do lado baixo para o alto ou um buck ideal, etc.) e mostrar o cálculo completo com
numérico; ou - usar a fig. 5 caso você a envie, e aí eu executo todos os passos numéricos até o valor final de
.
Resposta
Não é possível calcular
porque a figura 5 (que contém a topologia do conversor e a relação entre tensões) não foi fornecida; sem essa informação não há como relacionar a tensão dos terminais à razão cíclica
.