O conversor CC-CC bidirecional mostrado na fig. 5 faz a interface de uma bateria de 12 / 14 \mathrm{~V} com um banco de baterias de 36 / 42 \mathrm{~V}. As tensões internas são E_{1}=40 \mathrm{~V} e E_{2}=13 \mathrm{~V}. Ambas as fontes de bateria possuem uma resistência elétrica interna de 100 \mathrm{~m} \Omega cada uma. Em regime permanente CC, calcule a taxa de ciclo útil D_{A} do estágio de potência se
A potência elétrica que sai dos terminais da bateria de baixa tensão elétrca é de 140 W .

Passo 1

O enunciado pede: calcular a taxa de ciclo útil D_{A} do estágio de potência do conversor CC-CC bidirecional, em regime permanente CC, sabendo que a potência elétrica que sai dos terminais da bateria de baixa tensão é 140\\ \mathrm{W}.
Dados fornecidos no enunciado:
E_{1}=40\\ \mathrm{V},\qquad E_{2}=13\\ \mathrm{V}
r_{1}=r_{2}=100\\ \mathrm{m\Omega}=0{,}1\\ \Omega
Potência na bateria de baixa tensão (nos seus terminais): P_{\text{term, baixa}}=140\\ \mathrm{W}.
Observação importante: o enunciado refere-se explicitamente ao “conversor CC-CC bidirecional mostrado na fig. 5”. A topologia e as ligações mostradas nessa figura (por exemplo: conversor tipo buck, boost, buck-boost, conversor com transformador, se a medida de tensões é em terminais das baterias, etc.) são determinantes para obter a relação entre tensões e a taxa de ciclo D_{A}. A figura 5 não foi fornecida aqui.

Passo 2

Por que a figura (topologia) é necessária? Vou explicar de forma didática e com calma para você entender o porquê.
Um conversor CC-CC ideal relaciona a tensão de entrada V_{\text{in}} com a tensão de saída V_{\text{out}} por uma fórmula que depende da topologia e do modo de operação (por exemplo, buck, boost, buck–boost, full-bridge com transformador, etc.). Exemplos clássicos — anote bem as fórmulas e o que cada variável significa:
  • Conversor buck (redução de tensão, ideal, regime contínuo):
V_{\text{out}} = D\; V_{\text{in}},
onde D é a razão cíclica (duty cycle) do interruptor principal. Aqui V_{\text{in}} é a tensão no lado de entrada do conversor e V_{\text{out}} a tensão no lado de saída.
  • Conversor boost (elevação de tensão, ideal, regime contínuo):
V_{\text{out}} = \frac{V_{\text{in}}}{1-D}.
  • Conversor buck–boost (pode inverter ou não dependendo da topologia):
V_{\text{out}} = \frac{D}{1-D}\; V_{\text{in}} \quad\text{(em certo arranjo de polaridades)}.
Em chamadas mais complexas (ex.: conversor bidirecional com ponte completa e indutor comum), as relações podem ser equivalentes a uma das acima em cada sentido de operação, mas dependem da forma como as chaves são acionadas (ex.: modo de step-up ou step-down). Portanto, sem saber qual topologia exatamente está na fig. 5 não há como escrever a equação que liga D_{A} às tensões das baterias.

Passo 3

Modelo elétrico das baterias e como tirar informações úteis do dado de potência — aula prática que você pode usar na prova.
Cada bateria é modelada por uma fem (ou tensão interna) E em série com uma resistência interna r. Se a bateria entrega corrente I para a carga/conversor (corrente positiva saindo do terminal positivo da bateria), a tensão nos terminais da bateria é
V_{t} = E - r\,I.
A potência elétrica que sai dos terminais (potência terminal) é
P_{\text{term}} = V_{t}\,I = (E - r I)\,I = E I - r I^{2}.
Note que esta é uma equação quadrática em I. Se você conhece P_{\text{term}}, E e r, pode encontrar I resolvendo:
r I^{2} - E I + P_{\text{term}} = 0.
A solução (fórmula quadrática) é
I = \frac{E \pm \sqrt{E^{2} - 4 r P_{\text{term}}}}{2 r}.
Explicação das variáveis:
  • E é a fem interna (em volts);
  • r é a resistência interna (em ohms);
  • I é a corrente de saída da bateria (em ampères);
  • P_{\text{term}} é a potência medida nos terminais da bateria (em watts).
Observações importantes sobre essa equação:
  • O discriminante E^{2}-4 r P_{\text{term}} deve ser não negativo para existirem soluções reais. Isso dá uma condição máxima de potência que a bateria pode entregar sem que a equação deixe de ter solução real.
  • A equação pode produzir duas soluções positivas para I. Essas duas soluções correspondem a dois pontos de operação distintos: um com corrente relativamente pequena e tensão terminal próxima de E (alta tensão terminal, baixa corrente), e outro com corrente grande e tensão terminal baixa. Qual dos dois é físicamente válido depende do restante do circuito (no nosso caso, do conversor). Por isso precisamos da topologia: o conversor, através do seu comportamento em regime permanente, fixa a relação entre tensão terminal do lado baixo e do lado alto, e portanto seleciona qual solução de I é a consistente.

Passo 4

Aplicando o passo anterior ao dado concreto — sem decidir qual raiz é a física, mostro como obter as correntes e tensões terminais da bateria de baixa tensão a partir de P_{\text{term, baixa}}=140\\ \mathrm{W}.
Usando E_{2}=13\\ \mathrm{V}, r_{2}=0{,}1\\ \Omega e P_{\text{term, baixa}}=140\\ \mathrm{W}, a equação para I_{2} é
0{,}1\,I_{2}^{2} - 13\,I_{2} + 140 = 0.
Dividindo por 0{,}1 para simplificar:
I_{2}^{2} - 130\,I_{2} + 1400 = 0.
A solução pela fórmula quadrática:
I_{2} = \frac{13 \pm \sqrt{13^{2} - 4\cdot 0{,}1 \cdot 140}}{2\cdot 0{,}1} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 56}}{0{,}2} = \frac{13 \pm \sqrt{113}}{0{,}2}.
Calculando numericamente (apenas para ver as ordens de grandeza; em prova você pode estimar ou calcular):
\sqrt{113}\approx 10{,}630,
logo as duas soluções são
I_{2}^{(1)} \approx \frac{13 - 10{,}630}{0{,}2} \approx \frac{2{,}370}{0{,}2} \approx 11{,}85\\ \mathrm{A},
I_{2}^{(2)} \approx \frac{13 + 10{,}630}{0{,}2} \approx \frac{23{,}630}{0{,}2} \approx 118{,}15\\ \mathrm{A}.
Para essas correntes, as tensões terminais seriam
V_{2}^{(1)} = E_{2} - r_{2}I_{2}^{(1)} \approx 13 - 0{,}1\cdot 11{,}85 \approx 11{,}815\\ \mathrm{V},
V_{2}^{(2)} = E_{2} - r_{2}I_{2}^{(2)} \approx 13 - 0{,}1\cdot 118{,}15 \approx 1{,}185\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida: V_{2}^{(1)}\cdot I_{2}^{(1)} \approx 11{,}815\cdot 11{,}85 \approx 140\\ \mathrm{W} e V_{2}^{(2)}\cdot I_{2}^{(2)} \approx 1{,}185\cdot 118{,}15 \approx 140\\ \mathrm{W}. Ambas são soluções matemáticas possíveis. Qual delas se realiza depende da tensão que o conversor impuser ao terminal da bateria de baixa tensão — e isso é função direta da topologia e de D_{A}.

Passo 5

Como se obteria D_{A} quando a topologia estivesse disponível — procedimento passo a passo que você deve aplicar na prova:
  1. Identificar na figura qual lado é entrada e qual é saída para o modo considerado (baixa tensão para alta tensão, ou vice-versa) e qual é a equação ideal do conversor que liga V_{\text{in}} e V_{\text{out}}. Por exemplo:
    • Se o conversor atua como buck do lado alto para o lado baixo, usar V_{\text{baixa}} = D_{A}\,V_{\text{alta}}.
    • Se atua como boost do lado baixo para o lado alto, usar V_{\text{alta}} = \dfrac{V_{\text{baixa}}}{1-D_{A}}.
      (Sempre escreva claramente o que cada tensão representa.)
  2. A partir do valor de potência nos terminais da bateria baixa (aqui 140\\ \mathrm{W}) resolver a equação quadrática para obter as possíveis correntes I_{2} e, com isso, as tensões terminais correspondentes V_{2}=E_{2}-r_{2}I_{2}.
  3. Para cada par (V_{2},I_{2}) verificar se existe um D_{A} que satisfaz a relação ideal do conversor com a tensão do outro lado. Por exemplo, se o outro lado (banco de 36/42 V) tem terminal V_{1}=E_{1}-r_{1}I_{1} e se a equação ideal do conversor for V_{1}=g(D_{A})\,V_{2} (onde g(D_{A}) é a função dependente de D_{A}), então impor
E_{1}-r_{1}I_{1} = g(D_{A})\big(E_{2}-r_{2}I_{2}\big).
  1. Usar balanço de potência (se o conversor for ideal e sem perdas, V_{2}I_{2} = V_{1}I_{1}; se houver perdas, elas devem ser incluídas) para relacionar I_{1} e I_{2}. Em particular, com conversor ideal e potência fluindo do lado 2 para lado 1:
V_{2}I_{2} = V_{1}I_{1}.
  1. Resolver o sistema de equações formado (equação do conversor + leis das baterias + balanço de potência) para obter D_{A}. Em muitos casos isso reduz a uma equação que se resolve numericamente ou analiticamente dependendo das formas.

Passo 6

Conclusão prática e o que falta para chegar à resposta numérica direta: sem a figura 5 não podemos saber qual é a função g(D_{A}) que relaciona as tensões e, portanto, não é possível encontrar numericamentes D_{A}. Eu já te mostrei como obter as correntes possíveis do lado baixo a partir dos 140\\ \mathrm{W} (duas soluções), e mostrei o procedimento completo que você deve executar assim que souber a topologia mostrada na figura 5. Isso é exatamente o que você faria na prova: primeiro calcular I_{2} e V_{2} a partir da potência dada, depois usar a relação do conversor para achar D_{A}.
Se você quiser, posso:
  • aplicar este procedimento a uma topologia específica (por exemplo: assumir que o conversor é um boost ideal do lado baixo para o alto ou um buck ideal, etc.) e mostrar o cálculo completo com D_{A} numérico; ou
  • usar a fig. 5 caso você a envie, e aí eu executo todos os passos numéricos até o valor final de D_{A}.

Resposta

Não é possível calcular D_{A} porque a figura 5 (que contém a topologia do conversor e a relação entre tensões) não foi fornecida; sem essa informação não há como relacionar a tensão dos terminais à razão cíclica D_{A}.

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