1. Um conversor CC-CC buck-boost deve ser projetado operar nas seguintes condições: V_{\text {in }}=12 \mathrm{~V}, V_{\text {out }}=42 \mathrm{~V}, e potência elétrica máxima de saída de P_{\text {out }}=96 \mathrm{~W}. A frequência de comutação é selecionada em f_{\mathrm{s}}=300 \mathrm{kHz}. Suponha componentes ideais. Estime o valor da indutância L se o conversor deve permanecer no CCM em um terço da potência elétrica máxima de saída.

Passo 1

O enunciado pede estimar o valor da indutância L de um conversor CC-CC do tipo buck-boost, dadas as seguintes informações:
  • V_{\text{in}}=12\\ \mathrm{V}.
  • V_{\text{out}}=42\\ \mathrm{V}.
  • Potência elétrica máxima de saída P_{\text{out,max}}=96\\ \mathrm{W}.
  • Frequência de comutação f_{\mathrm{s}}=300\\ \mathrm{kHz}.
  • O conversor deve permanecer em CCM (corrente do indutor contínua) quando a potência de saída for \tfrac{1}{3} da potência máxima.
  • Componentes ideais (sem perdas).
O que precisamos calcular: o valor de L que garante que, na carga correspondente a P=\tfrac{1}{3}P_{\text{out,max}}, o indutor ainda opere em CCM.

Passo 2

Primeiro vamos achar o ciclo de trabalho D do buck-boost em regime estacionário. Para o conversor ideal buck-boost (módulo das tensões) vale a relação
\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{D}{1-D}.
Isolando D temos
D=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{out}}+V_{\text{in}}}.
Substituindo os valores:
D=\frac{42}{42+12}=\frac{42}{54}=\frac{7}{9}\approx 0{,}7778.
Isso significa que o transistor permanece ligado aproximadamente 77{,}78\% do período.

Passo 3

Calculemos o período de comutação T_s:
T_s=\frac{1}{f_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{300\cdot 10^{3}}=\frac{1}{300000}\\ \mathrm{s}=3{,}333\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora achamos a corrente média no indutor na condição de 1/3 da potência máxima. A potência de saída nessa condição é
P=\frac{1}{3}P_{\text{out,max}}=\frac{1}{3}\cdot 96\\ \mathrm{W}=32\\ \mathrm{W}.
Como o circuito é ideal, a potência de entrada é igual à potência de saída, então a corrente média que passa pelo indutor (igual à corrente de entrada média) é
I_{L,\mathrm{avg}}=I_{\text{in}}=\frac{P}{V_{\text{in}}}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\\ \mathrm{A}\approx 2{,}6667\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Agora precisamos relacionar a variação de corrente no indutor \Delta i_{L} com L. Durante o intervalo ligado (duração D T_s) a tensão no indutor é V_{\text{in}} e a corrente cresce; o incremento é
\Delta i_{\uparrow}=\frac{V_{\text{in}}\,D\,T_s}{L}.
Em regime estacionário esse aumento é igual à queda durante o intervalo desligado, então o pico-a-pico da ondulação de corrente no indutor é
\Delta i_{pp}=\Delta i_{\uparrow}=\frac{V_{\text{in}}\,D\,T_s}{L}.
A condição de limite entre CCM e DCM ocorre quando a corrente mínima do indutor é zero:
i_{L,\min}=I_{L,\mathrm{avg}}-\frac{\Delta i_{pp}}{2}=0.
Daí, na fronteira entre CCM e DCM:
\Delta i_{pp}=2\,I_{L,\mathrm{avg}}.
Substituindo \Delta i_{pp} na expressão acima e isolando L obtemos a indutância mínima que mantém CCM:
L=\frac{V_{\text{in}}\,D\,T_s}{2\,I_{L,\mathrm{avg}}}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo.
Calcule o numerador V_{\text{in}}\,D\,T_s:
V_{\text{in}}\,D\,T_s = 12\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{1}{300000}=\frac{7}{225000}=3{,}111\overline{1}\times 10^{-5}\\ \mathrm{V\cdot s}.
Calcule o denominador 2\,I_{L,\mathrm{avg}}:
2\,I_{L,\mathrm{avg}}=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\\ \mathrm{A}\approx 5{,}3333\\ \mathrm{A}.
Agora L:
L=\frac{7/225000}{16/3}=\frac{7}{225000}\cdot\frac{3}{16}=\frac{21}{3600000}=\frac{7}{1200000}\\ \mathrm{H}.
Convertendo para henry decimal:
L=\frac{7}{1200000}\\ \mathrm{H}\approx 5{,}833333\times 10^{-6}\\ \mathrm{H}.
Em microhenry:
L\approx 5{,}83\\ \mu\mathrm{H}.

Passo 7

Interpretação final rápida e dica prática: este valor é a indutância mínima para que, no caso de carga correspondente a um terço da potência máxima, a corrente do indutor não atinja zero. Na prática costuma-se escolher um valor um pouco maior (margem) para assegurar operação em CCM mesmo com tolerâncias e variações.

Resposta

L \approx 5{,}83\\ \mu\mathrm{H}

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