Neste conversor buck-boost, a tensão elétrica de entrada varia em uma faixa de 9 V a 15 V . Para cada valor de entrada, a taxa de ciclo útil D_{A} é ajustada para manter a tensão elétrica de saída constante em seu valor nominal (com V_{\text {in }}=12 \mathrm{~V} e D=0,6 ). Calcule o valor mínimo da indutância L tal que este conversor buck-boost permaneça no modo de condução contínua em e acima de P_{\text {out }}=5 \mathrm{~W} sob todos os valores de a tensão de entrada V_{\text {in }}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica. Vou listar direitinho para a gente não se perder: \n
  • A tensão de entrada V_{\text{in}} varia na faixa \,9\\ \mathrm{V}\le \,V_{\text{in}}\le 15\\ \mathrm{V}\,. \n
  • Para cada V_{\text{in}} a razão cíclica (duty) \,D_{A}\, é ajustada para manter a tensão de saída constante no valor nominal. O enunciado diz que, no ponto nominal \,V_{\text{in}}=12\\ \mathrm{V}\, tem-se \,D=0{,}6. \n
  • A potência de saída de interesse é \,P_{\text{out}}=5\\ \mathrm{W}. O objetivo é encontrar o valor mínimo da indutância L de modo que o conversor permaneça em condução contínua (CCM) para todas as tensões de entrada da faixa quando P_{\text{out}}\ge 5\\ \mathrm{W}. \n
    O que exatamente se pede: calcular L_{\min} tal que o conversor está em CCM para todo \,V_{\text{in}}\in[9,15]\\ \mathrm{V} e para P_{\text{out}}=5\\ \mathrm{W}. \n
    Obs.: o enunciado não fornece a frequência de comutação f_{s}. Portanto a resposta final será dada em função de f_{s}; também vou mostrar valores numéricos exemplares para frequências típicas para você ter uma ideia prática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a tensão de saída nominal. Usei o dado \,V_{\text{in}}=12\\ \mathrm{V} com \,D=0{,}6. No conversor buck–boost ideal (modelo usual), a relação em regime permanente, em módulo, é
|V_{\text{out}}|=\frac{D}{1-D}\,V_{\text{in}}.
Substituindo \,V_{\text{in}}=12\\ \mathrm{V} e \,D=0{,}6 obtemos
|V_{\text{out}}|=\frac{0{,}6}{1-0{,}6}\cdot 12=\frac{0{,}6}{0{,}4}\cdot 12=1{,}5\cdot 12=18\\ \mathrm{V}.
Vou denotar V_{\text{out}}=18\\ \mathrm{V} (módulo), que é o valor que deve ser mantido para toda a faixa de entrada.

Passo 3

Agora expressamos a razão de ciclo D em função de V_{\text{in}} tendo V_{\text{out}} fixo. A relação rearranjada da fórmula do passo anterior é
\frac{D}{1-D}=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\quad\Rightarrow\quad D=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{out}}+V_{\text{in}}}.
Portanto, para cada V_{\text{in}} na faixa, \,D(V_{\text{in}})=\dfrac{18}{18+V_{\text{in}}}.

Passo 4

Precisamos da corrente média no indutor \,I_{L,\text{avg}}. Em regime estacionário o indutor vê a corrente de entrada (no conversor buck–boost ideal a potência de entrada é igual à de saída, desprezando perdas), logo
I_{L,\text{avg}}=I_{\text{in}}=\frac{P_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}.
Para P_{\text{out}}=5\\ \mathrm{W} temos
I_{L,\text{avg}}(V_{\text{in}})=\frac{5}{V_{\text{in}}}\\ \text{[A]}.
Observação: quanto maior V_{\text{in}}, menor a corrente média do indutor — isso será importante para achar o pior caso.

Passo 5

Agora vamos falar do ripple de corrente no indutor e da condição para CCM. A variação pico-a-pico da corrente do indutor em um período (denoto \Delta I_{L}) é dada, durante o intervalo em que a chave está ligada, por
\Delta I_{L}=\frac{V_{L}^{\text{on}}\,D\,T}{L},
onde \,V_{L}^{\text{on}}\, é a tensão no indutor durante o tempo ligado, D é a razão de ciclo, T=1/f_{s} é o período de comutação e L é a indutância. No buck–boost, durante o tempo ligado a tensão sobre L é aproximadamente V_{\text{in}}, então
\Delta I_{L}=\frac{V_{\text{in}}\,D}{L\,f_{s}}.
A condição de condução contínua (limite entre CCM e DCM) é que a corrente mínima do indutor não chegue a zero. Supondo uma corrente triangular simétrica do ripple em torno da média, a condição é
I_{L,\text{avg}}-\frac{\Delta I_{L}}{2}\ge 0
ou, para a fronteira entre modos,
\Delta I_{L}=2\,I_{L,\text{avg}}.

Passo 6

Usando a igualdade de fronteira para obter L_{\min} (menor L que ainda garante CCM), substituímos \Delta I_{L} e I_{L,\text{avg}}:
\frac{V_{\text{in}}\,D}{L\,f_{s}}=2\cdot\frac{P_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}.
Isolando L obtemos
L=\frac{V_{\text{in}}^{2}\,D}{2\,f_{s}\,P_{\text{out}}}.
Esta fórmula dá o valor mínimo de L para um dado V_{\text{in}}, D (que depende de V_{\text{in}}), f_{s} e P_{\text{out}}.

Passo 7

Queremos que o conversor fique em CCM para toda a faixa \,V_{\text{in}}\in[9,15]. Portanto precisamos tomar o máximo de L exigido pela expressão do passo anterior sobre essa faixa (pois se L for grande o suficiente para o caso mais exigente, serve para todos os outros). Definimos a função
g(V_{\text{in}})=V_{\text{in}}^{2}\,D(V_{\text{in}})=V_{\text{in}}^{2}\cdot\frac{18}{18+V_{\text{in}}}.
Para achar o pior caso, verificamos onde g(V_{\text{in}}) é máxima no intervalo [9,15]. Calculando a derivada (mostro rapidamente o passo):
g'(V_{\text{in}})=18\cdot\frac{V_{\text{in}}(36+V_{\text{in}})}{(18+V_{\text{in}})^{2}},
que é positiva para V_{\text{in}}>0. Portanto g(V_{\text{in}}) é crescente em todo o intervalo e o máximo ocorre em V_{\text{in}}=15\\ \mathrm{V}. Conclusão importante: o caso mais crítico (que exige maior L) é o maior V_{\text{in}} da faixa, aqui 15\\ \mathrm{V}. Intuição: mesmo que a tensão de entrada aumente reduzindo a corrente média, o termo V_{\text{in}}^{2}D cresce e domina.

Passo 8

Agora avalio a fórmula de L no pior caso V_{\text{in}}=15\\ \mathrm{V}. Primeiro calculo D naquele ponto:
D\big|_{V_{\text{in}}=15}=\frac{18}{18+15}=\frac{18}{33}=\frac{6}{11}.
Substituindo em \,L=\dfrac{V_{\text{in}}^{2}D}{2f_{s}P_{\text{out}}}\,:
L_{\min}=\frac{15^{2}\cdot\frac{6}{11}}{2\,f_{s}\cdot 5} =\frac{225\cdot 6}{11\cdot 10}\cdot\frac{1}{f_{s}} =\frac{135}{11}\cdot\frac{1}{f_{s}}.
Portanto a expressão exata é
L_{\min}=\frac{135}{11}\cdot\frac{1}{f_{s}}\\ \text{henry}.
Em forma decimal
L_{\min}\approx\frac{12{,}272727\ldots}{f_{s}}\\ \mathrm{H}.

Passo 9

Para te dar uma noção prática, converto para valores típicos de frequência de comutação: \n
  • Se f_{s}=100\\ \mathrm{kHz}=1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Hz}, então
L_{\min}\approx\frac{12{,}2727}{1{,}0\times 10^{5}}=1{,}22727\times 10^{-4}\\ \mathrm{H}=122{,}7\\ \mu\mathrm{H}.
  • Se f_{s}=50\\ \mathrm{kHz}, então
L_{\min}\approx\frac{12{,}2727}{5{,}0\times 10^{4}}=2{,}4545\times 10^{-4}\\ \mathrm{H}=245{,}5\\ \mu\mathrm{H}.
  • Se f_{s}=200\\ \mathrm{kHz}, então
L_{\min}\approx\frac{12{,}2727}{2{,}0\times 10^{5}}=6{,}1364\times 10^{-5}\\ \mathrm{H}=61{,}36\\ \mu\mathrm{H}.
Esses exemplos mostram como L_{\min} diminui quando a frequência de comutação aumenta (mais comutações por segundo => menor ripple para mesma L).

Resposta

L_{\min}=\frac{135}{11}\cdot\frac{1}{f_{s}}\\ \mathrm{H}\approx\frac{12{,}272727\ldots}{f_{s}}\\ \mathrm{H}.
Exemplos numéricos: L_{\min}\approx 122{,}7\\ \mu\mathrm{H} para f_{s}=100\\ \mathrm{kHz}; L_{\min}\approx 245{,}5\\ \mu\mathrm{H} para f_{s}=50\\ \mathrm{kHz}.

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