1. Um sistema fotovoltaico P V de 1,2 \mathrm{~kW} consiste de 4 arranjos conectados em série, cada um com tensão elétrica nominal de 55 V e corrente elétrica nominal de 6,0 \mathrm{~A} no ponto de máxima potência elétrica, na máxima insolação esperada. A saída dos arranjos em série é elevada para 400 V (CC) por um conversor elevador (boost), que alimenta um inversor responsável por injetar potência elétrica na rede elétrica de distribuição monofásica. Supondo que a frequência de comutação no conversor elevador seja 200 Hz e que a ondulação pico a pico da corrente elétrica de entrada nesse conversor deva ser menor que 10 \% da corrente elétrica nominal no ponto de máxima potência elétrica, calcule o valor da indutância nesse conversor. Considere componentes ideais.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a indutância do conversor elevador (boost):
  • Potência do sistema fotovoltaico: 1,2\\ \mathrm{kW}.
  • São 4 arranjos em série; cada arranjo tem tensão nominal 55\\ \mathrm{V} e corrente no ponto de máxima potência 6,0\\ \mathrm{A}.
  • A tensão de saída dos arranjos (entrada do conversor boost) é elevada para 400\\ \mathrm{V} CC por um conversor elevador.
  • Frequência de comutação do conversor: 200\\ \mathrm{Hz}.
  • A ondulação pico a pico da corrente de entrada no conversor deve ser menor que 10\% da corrente nominal no ponto de máxima potência.
  • Componentes ideais (nenhuma perda, conversor ideal).
Informações relevantes extraídas dos dados (vou listar explicitamente):
  • Tensão de entrada do conversor (soma das 4 em série): V_{in} = 4 \times 55\\ \mathrm{V} = 220\\ \mathrm{V}.
  • Corrente nominal no ponto de máxima potência (corrente de entrada do conversor em modo contínuo): I_{nom}=6,0\\ \mathrm{A}.
  • Limite para ondulação pico a pico da corrente: \Delta i_{L,\text{pp}}^{\max} = 0{,}10 \times I_{nom} = 0{,}10 \times 6{,}0\\ \mathrm{A} = 0{,}6\\ \mathrm{A}.
  • Tensão de saída do conversor (após boost): V_{out}=400\\ \mathrm{V}.
  • Frequência de comutação: f_s = 200\\ \mathrm{Hz} e período T_s = 1/f_s.
O que é pedido: calcular o valor da indutância L do conversor boost de modo que a ondulação pico a pico da corrente de entrada seja menor que 0{,}6\\ \mathrm{A}.

Passo 2

Entendendo o princípio útil para resolver (explicação didática):
  • Em um conversor boost ideal, o indutor é ligado à fonte quando o interruptor está fechado (estado ON) e fornece energia ao indutor; quando o interruptor abre (estado OFF) o indutor transfere energia à carga e ao capacitor de saída através do diodo/inversor. A corrente no indutor tem forma triangular numa comutação periódica: ela sobe durante o intervalo ON e desce durante o intervalo OFF.
  • A variação da corrente no indutor durante o intervalo ON é dada pela lei de Faraday aplicada ao indutor: v_L = L\frac{di_L}{dt}.Aqui v_L é a tensão aplicada ao indutor naquele intervalo, L é a indutância e di_L/dt é a inclinação da corrente.
  • Para o estado ON do boost (chave fechada), em regime ideal, a tensão no indutor é aproximadamente v_L^{ON}=V_{in} porque o indutor fica diretamente ligado à fonte (assumindo queda de tensão nula no interruptor ideal).
  • A variação de corrente durante o tempo D T_s (onde D é o duty cycle e T_s o período) é: \Delta i_{ON} = \frac{v_L^{ON}}{L} \cdot D T_s = \frac{V_{in}}{L}\,D T_s.
  • Em regime permanente, a variação positiva durante ON é igual em magnitude à variação negativa durante OFF, logo a ondulação pico a pico \Delta i_{L,\text{pp}} vale \Delta i_{ON}.
  • Também precisamos do duty cycle D. Para um conversor boost ideal a relação entre tensões é: V_{out} = \frac{V_{in}}{1-D}.Desse modo: D = 1 - \frac{V_{in}}{V_{out}}.

Passo 3

Calcular o duty cycle D usando as tensões dadas:
  • V_{in}=220\\ \mathrm{V} (peguei esse valor da soma das 4 arranjos: 4\times55\\ \mathrm{V}).
  • V_{out}=400\\ \mathrm{V} (dado do enunciado).
    Aplicando a fórmula do boost:
D = 1 - \frac{V_{in}}{V_{out}} = 1 - \frac{220}{400} = 1 - 0{,}55 = 0{,}45.

Passo 4

Escrever a expressão da ondulação pico a pico da corrente do indutor em termos de L:
  • Período de comutação: T_s = \dfrac{1}{f_s} = \dfrac{1}{200\\ \mathrm{Hz}} = 0{,}005\\ \mathrm{s}.
  • A ondulação pico a pico (módulo) é: \Delta i_{L,\text{pp}} = \frac{V_{in}}{L}\,D\,T_s.
Explicação: a corrente sobe durante o intervalo ON com inclinação V_{in}/L durante duração D T_s, e essa subida é exatamente a amplitude pico a pico do triângulo.

Passo 5

Impor a condição de projeto (ondulação menor que 10% da corrente nominal) e isolar L:
  • Condição: \Delta i_{L,\text{pp}} \le \Delta i_{L,\text{pp}}^{\max} = 0{,}6\\ \mathrm{A}.
  • Substituindo a expressão da ondulação: \frac{V_{in}}{L}\,D\,T_s \le 0{,}6.
  • Isolando L: L \ge \frac{V_{in}\,D\,T_s}{0{,}6}.

Passo 6

Calcular numericamente L usando os valores:
  • V_{in}=220\\ \mathrm{V}.
  • D=0{,}45.
  • T_s=0{,}005\\ \mathrm{s}.
  • Numerador: V_{in}\,D\,T_s = 220 \times 0{,}45 \times 0{,}005.Calcule passo a passo: 0{,}45 \times 0{,}005 = 0{,}00225,
220 \times 0{,}00225 = 0{,}495.
  • Logo L \ge \frac{0{,}495}{0{,}6} = 0{,}825\\ \mathrm{H}.

Passo 7

Interpretação e recomendação prática (gentil e motivadora):
  • O resultado dá uma indutância relativamente grande, L\ge 0{,}825\\ \mathrm{H}. Isso ocorre porque a frequência de comutação pedida ( 200\\ \mathrm{Hz}) é baixa, então para conseguir pequena ondulação é preciso muita indutância.
  • Em projeto real você escolheria uma indutância comercial um pouco maior que o mínimo calculado, por exemplo L=0{,}83\\ \mathrm{H} ou L=0{,}9\\ \mathrm{H}, para garantir margem e levar em conta tolerâncias e não-idealidades. Mas como o enunciado pediu cálculo com componentes ideais, o valor mínimo calculado é 0{,}825\\ \mathrm{H}.

Resposta

L \ge 0{,}825\\ \mathrm{H}

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