Em um nobreak monofásico, V_{\mathrm{d}}=350 \mathrm{~V}, \bar{v}_{\mathrm{o}}(t)=170 \sin (120 \pi t) \mathrm{V} e i_{\mathrm{o}}(t)=10 \sin \left(120 \pi t-30^{\circ}\right) \mathrm{A}. Calcule e faça o gráfico de d_{A, a}(t), d_{A, b}(t), \bar{v}_{a n}(t), \bar{v}_{b n}(t), I_{\mathrm{d}}, i_{\mathrm{d}_{2}}(t) e \bar{i}_{\mathrm{d}}(t). A frequência de comutação é f_{\mathrm{s}}=20 \mathrm{kHz}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas listadas:
Dados fornecidos:
V_{\mathrm{d}}=350\\ \mathrm{V},
\bar{v}_{\mathrm{o}}(t)=170\sin(120\pi t)\\ \mathrm{V},
i_{\mathrm{o}}(t)=10\sin\!\left(120\pi t-30^\circ\right)\\ \mathrm{A},
f_{\mathrm{s}}=20\\ \mathrm{kHz}.
O enunciado pede que eu calcule e faça o gráfico (ou descreva o formato do gráfico) das seguintes grandezas:
d_{A,a}(t),\quad d_{A,b}(t),\quad \bar{v}_{an}(t),\quad \bar{v}_{bn}(t),\quad I_{\mathrm{d}},\quad i_{\mathrm{d}_{2}}(t),\quad \bar{i}_{\mathrm{d}}(t).
Observações importantes (apenas identificação do pedido e dos dados — resolução começa no próximo passo):
  • \bar{v}_{\mathrm{o}}(t) é a tensão desejada no load (saída AC) com amplitude \,170 V e frequência 60\\ \mathrm{Hz} (porque \omega=120\pi).
  • i_{\mathrm{o}}(t) é a corrente de carga, com a mesma frequência e defasagem de 30^\circ.
  • A frequência de comutação é alta ( 20\\ \mathrm{kHz}); as expressões pedidas associam-se à modulação PWM e ao modelo médio (médias sobre cada período de comutação) e à decomposição do corrente do barramento em componente média e ripple à frequência dupla da rede.

Passo 2

Modelo médio do inversor full-bridge e relação entre duty cycles e tensão de saída (aulas rápidas e intuitivas).
Explicação didática do modelo:
  • Num inversor full-bridge cada braço gera uma tensão média v_a e v_b que, em modelo de média por período de comutação, valem
v_a=(2d_a-1)\frac{V_{\mathrm{d}}}{2},\qquad v_b=(2d_b-1)\frac{V_{\mathrm{d}}}{2},
onde d_a é o duty cycle médio do switch superior do braço a (fração do período em que o terminal a está ligado ao potencial +V_{\mathrm{d}}/2) e análogo para d_b.
  • A tensão diferencial na carga é
v_{ab}=v_a-v_b=(d_a-d_b)\,V_{\mathrm{d}}.
Isto é uma fórmula chave: a diferença de duty cycles multiplicada por V_{\mathrm{d}} dá a tensão média aplicada à carga (modelo em média por período de comutação).
Método prático para gerar a forma senoidal desejada:
  • Se queremos \bar{v}_{o}(t)=v_{ab}(t)=170\sin(120\pi t), uma escolha simples e simétrica para os duties é:
d_a(t)=\tfrac{1}{2}+\frac{v_{ab}(t)}{2V_{\mathrm{d}}},\qquad d_b(t)=\tfrac{1}{2}-\frac{v_{ab}(t)}{2V_{\mathrm{d}}}.
Isso garante d_a-d_b=\dfrac{v_{ab}}{V_{\mathrm{d}}} e mantém os duties centrados em 0{,}5 (útil para limitar torsão de comutação).

Passo 3

Aplicando a fórmula dos duties aos números do enunciado e simplificando (mostro passo a passo).
Coloque a forma de \bar{v}_o(t) dentro da expressão de d_a:
d_{A,a}(t)=\tfrac{1}{2}+\frac{170\sin(120\pi t)}{2\cdot 350}.
Simplifico o fator numérico:
\frac{170}{700}=\frac{17}{70}\approx 0{,}242857.
Portanto:
\boxed{d_{A,a}(t)=\tfrac{1}{2}+\frac{17}{70}\sin(120\pi t).}
De modo análogo:
\boxed{d_{A,b}(t)=\tfrac{1}{2}-\frac{17}{70}\sin(120\pi t).}
Interpretação e como desenhar o gráfico:
  • Ambas as funções são senóides em 60\\ \mathrm{Hz} centradas em 0{,}5.
  • Amplitude (variação em torno de 0{,}5) é 17/70\approx0{,}242857.
  • Intervalo de variação: d_{A,a}\in[0{,}5-0{,}242857,\\\ 0{,}5+0{,}242857]=[0{,}257143,\\\ 0{,}742857].
  • Para plotar, em um eixo de tempo mostre algumas ciclos (por ex. 0 a 50 ms) e trace a senóide deslocada verticalmente por 0{,}5.

Passo 4

Cálculo das tensões de braço média em relação ao ponto n (modelagem média por período de comutação).
Usando as fórmulas médias dadas antes, podemos obter v_a diretamente substituindo d_a:
v_a=(2d_a-1)\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}.
Substituindo d_a=\tfrac{1}{2}+\dfrac{v_{ab}}{2V_{\mathrm{d}}} obtém-se, com álgebra direta,
v_a=\frac{v_{ab}}{2}.
Isto é intuitivo: em configuração simétrica o terminal a fica com metade da tensão diferencial. Logo:
\bar{v}_{an}(t)=\frac{\bar{v}_o(t)}{2}=\frac{170}{2}\sin(120\pi t)=85\sin(120\pi t)\\ \mathrm{V}.
Da mesma forma,
\bar{v}_{bn}(t)=-\frac{\bar{v}_o(t)}{2}=-85\sin(120\pi t)\\ \mathrm{V}.
Expressei as duas tensões médias:
\boxed{\bar{v}_{an}(t)=85\sin(120\pi t)\\ \mathrm{V},}
\boxed{\bar{v}_{bn}(t)=-85\sin(120\pi t)\\ \mathrm{V}.}
Como desenhar os gráficos:
  • Ambos são senóides de 60\\ \mathrm{Hz}, amplitude 85 V, um sendo o negativo do outro.
  • No domínio do tempo mostre vários ciclos; em valor pico aparecem +85 V e -85 V.

Passo 5

Potência instantânea na carga e corrente média do barramento DC — derivação detalhada (aulas curtas de potência).
Quero a corrente média do barramento I_{\mathrm{d}}. Uso a relação de potência instantânea na carga:
p(t)=\bar{v}_o(t)\,i_o(t).
Substituo as formas senoidais:
p(t)=\bigl(170\sin(120\pi t)\bigr)\bigl(10\sin(120\pi t-30^\circ)\bigr).
Para simplificar uso a identidade produto-soma:
\sin\alpha\sin\beta=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr).
Aplicando com \alpha=\omega t e \beta=\omega t-\varphi (com \omega=120\pi e \varphi=30^\circ):
p(t)=170\cdot 10\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(30^\circ)-\cos(2\omega t-30^\circ)\bigr).
Simplifico os fatores numéricos:
p(t)=850\bigl(\cos 30^\circ -\cos(240\pi t-30^\circ)\bigr)\\ \mathrm{W}.
Explicação do que isto significa:
  • A potência instantânea tem uma componente contínua (DC) 850\cos30^\circ e uma componente alternada na frequência 2\omega (ou seja 120\\ \mathrm{Hz}, porque \omega corresponde a 60\\ \mathrm{Hz}).
  • A componente DC é a potência média entregue à carga; a componente em 120\\ \mathrm{Hz} é o ripple de potência.
A corrente média do barramento DC (valor médio ao longo de um ciclo lento, assumindo perda nula) é simplesmente a potência média dividida pela tensão do barramento:
I_{\mathrm{d}}=\frac{P_{\mathrm{avg}}}{V_{\mathrm{d}}}=\frac{850\cos30^\circ}{350}.
Uso \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e simplifico:
\frac{850}{350}=\frac{85}{35}=\frac{17}{7},
logo
\boxed{I_{\mathrm{d}}=\frac{17}{7}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{17\sqrt{3}}{14}\\ \mathrm{A}\approx 2{,}1032\\ \mathrm{A}.}
(Dica prática: essa é a média de corrente contínua que a fonte DC precisa fornecer para alimentar a carga.)

Passo 6

Decomposição completa da corrente do barramento em componente média e ripple duplo da rede (cálculo de \bar{i}_{\mathrm{d}}(t) e i_{\mathrm{d}_2}(t)).
Sabendo que a corrente média instantânea retirada do barramento (média por período de comutação) é dada por
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=\frac{p(t)}{V_{\mathrm{d}}}
substituo a expressão de p(t) do passo anterior:
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=\frac{850}{350}\bigl(\cos 30^\circ -\cos(240\pi t-30^\circ)\bigr).
Já vimos \dfrac{850}{350}=\dfrac{17}{7}. Assim:
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=\frac{17}{7}\cos30^\circ-\frac{17}{7}\cos(240\pi t-30^\circ).
Uso \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} para escrever a componente média I_{\mathrm{d}} explicitamente:
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=\frac{17\sqrt{3}}{14}-\frac{17}{7}\cos(240\pi t-30^\circ).
Identifico as partes:
  • Componente média (DC): I_{\mathrm{d}}=\dfrac{17\sqrt{3}}{14}\\ \mathrm{A} (já encontrada).
  • Componente de ripple à frequência dupla ( 120\\ \mathrm{Hz}):
\boxed{i_{\mathrm{d}_2}(t)=-\frac{17}{7}\cos(240\pi t-30^\circ)\\ \mathrm{A}.}
  • A corrente média por período de comutação (a forma suavizada, sem os pulsos de comutação) é
\boxed{\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=\frac{17\sqrt{3}}{14}-\frac{17}{7}\cos(240\pi t-30^\circ)\\ \mathrm{A}.}
Interpretação para o gráfico:
  • \bar{i}_{\mathrm{d}}(t) é uma soma de uma componente DC aproximadamente 2{,}103\\ \mathrm{A} e um ripple senoidal de amplitude 17/7\approx2{,}4286\\ \mathrm{A} e frequência 120\\ \mathrm{Hz}.
  • Portanto a corrente média do barramento varia entre aproximadamente 2{,}103\pm2{,}429 A; note que o ripple é comparável à média (então pode haver instantes com corrente instantânea negativa se olharmos apenas a essa expressão média; na prática a forma pulsante real e a dinâmica do filtro evitam comportamentos não físicos).

Passo 7

Relação entre corrente média por período de comutação e corrente pulsante real (observação prática para o desenho do gráfico de alta frequência).
Explicação física curta:
  • O que calculei em \bar{i}_{\mathrm{d}}(t) é a corrente média por período de comutação (ou seja, após filtrar os componentes em torno de f_{\mathrm{s}}). A corrente efetiva que circula no barramento tem ainda componentes na frequência de comutação ( 20\\ \mathrm{kHz}) e harmônicas, resultando em pulsos; esses pulsos têm amplitude ligada à corrente de carga instantânea e à topologia de comutação.
  • Em regime ideal (modelo médio) a corrente instantânea média por período de comutação obedece
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=\frac{v_{ab}(t)\,i_o(t)}{V_{\mathrm{d}}}=(d_a(t)-d_b(t))\,i_o(t).
Isto dá a mesma expressão que obtivemos dividindo a potência por V_{\mathrm{d}}, e é útil para plotar a forma suavizada (média por período de comutação).
Como desenhar o gráfico realístico:
  • Para d_{A,a} e d_{A,b}: senóides em 60\\ \mathrm{Hz} centradas em 0{,}5 com amplitude 0{,}242857.
  • Para \bar{v}_{an} e \bar{v}_{bn}: senóides de amplitude 85 V em 60\\ \mathrm{Hz}, opostas entre si.
  • Para \bar{i}_{\mathrm{d}}(t): trace uma linha de média I_{\mathrm{d}}\approx 2{,}103\\ \mathrm{A} com um ripple senoidal de frequência 120\\ \mathrm{Hz} e amplitude 2{,}4286\\ \mathrm{A}.
  • Se quiser um gráfico real com pulsos em 20\\ \mathrm{kHz}, sobreponha à \bar{i}_{\mathrm{d}}(t) uma série de impulsos/pulsos cujo valor médio por período de comutação é dado por \bar{i}_{\mathrm{d}}(t).

Resposta

d_{A,a}(t)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{17}{70}\sin(120\pi t)
d_{A,b}(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{17}{70}\sin(120\pi t)
\bar{v}_{an}(t)=85\sin(120\pi t)\\ \mathrm{V}
\bar{v}_{bn}(t)=-85\sin(120\pi t)\\ \mathrm{V}
I_{\mathrm{d}}=\dfrac{17\sqrt{3}}{14}\\ \mathrm{A}\approx 2{,}1032\\ \mathrm{A}
i_{\mathrm{d}_2}(t)=-\dfrac{17}{7}\cos(240\pi t-30^\circ)\\ \mathrm{A}
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=\dfrac{17\sqrt{3}}{14}-\dfrac{17}{7}\cos(240\pi t-30^\circ)\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados