Em um nobreak monofásico,
e
. Calcule e faça o gráfico de
e
. A frequência de comutação é
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas listadas:
Dados fornecidos:
O enunciado pede que eu calcule e faça o gráfico (ou descreva o formato do gráfico) das seguintes grandezas:
Observações importantes (apenas identificação do pedido e dos dados — resolução começa no próximo passo):
-
é a tensão desejada no load (saída AC) com amplitude V e frequência (porque ). -
é a corrente de carga, com a mesma frequência e defasagem de . - A frequência de comutação é alta (
); as expressões pedidas associam-se à modulação PWM e ao modelo médio (médias sobre cada período de comutação) e à decomposição do corrente do barramento em componente média e ripple à frequência dupla da rede.
Passo 2
Modelo médio do inversor full-bridge e relação entre duty cycles e tensão de saída (aulas rápidas e intuitivas).
Explicação didática do modelo:
- Num inversor full-bridge cada braço gera uma tensão média
e que, em modelo de média por período de comutação, valem
onde
é o duty cycle médio do switch superior do braço
(fração do período em que o terminal
está ligado ao potencial
) e análogo para
.
- A tensão diferencial na carga é
Isto é uma fórmula chave: a diferença de duty cycles multiplicada por
dá a tensão média aplicada à carga (modelo em média por período de comutação).
Método prático para gerar a forma senoidal desejada:
- Se queremos
, uma escolha simples e simétrica para os duties é:
Isso garante
e mantém os duties centrados em
(útil para limitar torsão de comutação).
Passo 3
Aplicando a fórmula dos duties aos números do enunciado e simplificando (mostro passo a passo).
Coloque a forma de
dentro da expressão de
:
Simplifico o fator numérico:
Portanto:
De modo análogo:
Interpretação e como desenhar o gráfico:
- Ambas as funções são senóides em
centradas em . - Amplitude (variação em torno de
) é . - Intervalo de variação:
. - Para plotar, em um eixo de tempo mostre algumas ciclos (por ex.
a ms) e trace a senóide deslocada verticalmente por .
Passo 4
Cálculo das tensões de braço média em relação ao ponto n (modelagem média por período de comutação).
Usando as fórmulas médias dadas antes, podemos obter
diretamente substituindo
:
Substituindo
obtém-se, com álgebra direta,
Isto é intuitivo: em configuração simétrica o terminal
fica com metade da tensão diferencial. Logo:
Da mesma forma,
Expressei as duas tensões médias:
Como desenhar os gráficos:
- Ambos são senóides de
, amplitude V, um sendo o negativo do outro. - No domínio do tempo mostre vários ciclos; em valor pico aparecem
V e V.
Passo 5
Potência instantânea na carga e corrente média do barramento DC — derivação detalhada (aulas curtas de potência).
Quero a corrente média do barramento
. Uso a relação de potência instantânea na carga:
Substituo as formas senoidais:
Para simplificar uso a identidade produto-soma:
Aplicando com
e
(com
e
):
Simplifico os fatores numéricos:
Explicação do que isto significa:
- A potência instantânea tem uma componente contínua (DC)
e uma componente alternada na frequência (ou seja , porque corresponde a ). - A componente DC é a potência média entregue à carga; a componente em
é o ripple de potência.
A corrente média do barramento DC (valor médio ao longo de um ciclo lento, assumindo perda nula) é simplesmente a potência média dividida pela tensão do barramento:
Uso
e simplifico:
logo
(Dica prática: essa é a média de corrente contínua que a fonte DC precisa fornecer para alimentar a carga.)
Passo 6
Decomposição completa da corrente do barramento em componente média e ripple duplo da rede (cálculo de
e
).
Sabendo que a corrente média instantânea retirada do barramento (média por período de comutação) é dada por
substituo a expressão de
do passo anterior:
Já vimos
. Assim:
Uso
para escrever a componente média
explicitamente:
Identifico as partes:
- Componente média (DC):
(já encontrada). - Componente de ripple à frequência dupla (
):
- A corrente média por período de comutação (a forma suavizada, sem os pulsos de comutação) é
Interpretação para o gráfico:
-
é uma soma de uma componente DC aproximadamente e um ripple senoidal de amplitude e frequência . - Portanto a corrente média do barramento varia entre aproximadamente
A; note que o ripple é comparável à média (então pode haver instantes com corrente instantânea negativa se olharmos apenas a essa expressão média; na prática a forma pulsante real e a dinâmica do filtro evitam comportamentos não físicos).
Passo 7
Relação entre corrente média por período de comutação e corrente pulsante real (observação prática para o desenho do gráfico de alta frequência).
Explicação física curta:
- O que calculei em
é a corrente média por período de comutação (ou seja, após filtrar os componentes em torno de ). A corrente efetiva que circula no barramento tem ainda componentes na frequência de comutação ( ) e harmônicas, resultando em pulsos; esses pulsos têm amplitude ligada à corrente de carga instantânea e à topologia de comutação. - Em regime ideal (modelo médio) a corrente instantânea média por período de comutação obedece
Isto dá a mesma expressão que obtivemos dividindo a potência por
, e é útil para plotar a forma suavizada (média por período de comutação).
Como desenhar o gráfico realístico:
- Para
e : senóides em centradas em com amplitude . - Para
e : senóides de amplitude V em , opostas entre si. - Para
: trace uma linha de média com um ripple senoidal de frequência e amplitude . - Se quiser um gráfico real com pulsos em
, sobreponha à uma série de impulsos/pulsos cujo valor médio por período de comutação é dado por .