Trace d_{A, a}(t) se a tensão elétrica de saída do polo do conversor CC-CA trifásico a for \bar{v}_{a N}(t)=\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}+0,85\left(\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}\right) \sin \left(\omega_{1} t\right), em que \omega_{1}=2 \pi \cdot 60 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para traçar (ou seja, encontrar a expressão do) duty cycle d_{A,a}(t) do polo a do conversor CC–CA, sabendo que a tensão média de saída desse polo, referida ao neutro, é
\bar{v}_{aN}(t)=\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}+0,85\left(\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}\right)\sin\!\left(\omega_{1} t\right),
com \omega_{1}=2\pi\cdot 60\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.\n
Informações relevantes dadas:
\bar{v}_{aN}(t)=\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}\bigl(1+0,85\sin(\omega_{1}t)\bigr)
e \omega_{1}=2\pi\cdot 60\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
O objetivo é obter d_{A,a}(t) em função do tempo, usando a relação entre tensão média do polo e duty cycle.

Passo 2

Explicando a relação entre tensão média e duty cycle (aula rápida, com calma): num braço com níveis de tensão entre 0 e V_{\mathrm{d}} (ou seja, o interruptor coloca o polo ora no nível alto V_{\mathrm{d}}, ora no nível baixo 0), o sinal de comutação s(t) vale 1 quando o polo está em V_{\mathrm{d}} e vale 0 quando está em 0. O duty cycle d(t) é a fração do período de comutação em que s(t)=1. A tensão média sobre um período de comutação T_s é a média temporal de s(t)V_{\mathrm{d}}, logo:
\bar{v}_{aN}(t)=\frac{1}{T_s}\int_{t}^{t+T_s} s(\tau)V_{\mathrm{d}}\,\mathrm{d}\tau = d(t)\,V_{\mathrm{d}}.
Comentário didático: aqui assumimos a forma usual em que o nível alto é V_{\mathrm{d}} e o baixo é 0; em outras convenções (níveis +\frac{V_{\mathrm{d}}}{2} e -\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}) a fórmula muda, mas a ideia é sempre: média = fração de tempo × nível alto + fração × nível baixo, que se simplifica ao fator d.

Passo 3

Isolando d(t) da relação \bar{v}_{aN}(t)=d(t)\,V_{\mathrm{d}} obtemos a fórmula básica que vamos usar na substituição:
d(t)=\frac{\bar{v}_{aN}(t)}{V_{\mathrm{d}}}.
Explicação curta: dividir a tensão média pelo nível DC dá diretamente a fração de tempo em que o polo ficou no nível alto.

Passo 4

Agora substituímos a expressão dada para \bar{v}_{aN}(t). Começo por reescrever:
\bar{v}_{aN}(t)=\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}\bigl(1+0,85\sin(\omega_{1}t)\bigr).
Dividindo por V_{\mathrm{d}} conforme a fórmula do passo anterior:
d_{A,a}(t)=\frac{\bar{v}_{aN}(t)}{V_{\mathrm{d}}} =\frac{1}{V_{\mathrm{d}}}\cdot\frac{V_{\mathrm{d}}}{2}\bigl(1+0,85\sin(\omega_{1}t)\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(1+0,85\sin(\omega_{1}t)\bigr).
Simplificando o coeficiente:
d_{A,a}(t)=\frac{1}{2}+0,425\sin(\omega_{1}t).

Passo 5

Substituindo \omega_{1}=2\pi\cdot 60\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} para ficar explícito no tempo:
d_{A,a}(t)=\frac{1}{2}+0,425\sin\!\bigl(2\pi\cdot 60\,t\bigr).
Interpretação prática e dicas para rascunho na prova:
  • O termo médio é \tfrac{1}{2} (isto é, sem a componente senoidal o duty seria 50%).
  • Amplitude da oscilação do duty é 0,425. Logo o duty varia entre
d_{\min}=\tfrac{1}{2}-0,425=0,075 \qquad\text{e}\qquad d_{\max}=\tfrac{1}{2}+0,425=0,925.
  • A frequência da oscilação é 60\\ \mathrm{Hz}, período T=\tfrac{1}{60}\\ \mathrm{s}\approx 0,01667\\ \mathrm{s}.
  • Picos ocorrem quando \sin(\omega_1 t)=\pm 1; por exemplo, o primeiro máximo em t=\tfrac{1}{4\cdot 60}=\tfrac{1}{240}\\ \mathrm{s}\approx 0,00417\\ \mathrm{s}.

Resposta

d_{A,a}(t)=\frac{1}{2}+0,425\sin\!\bigl(2\pi\cdot 60\,t\bigr)

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